5.1 DIVISIÓN

LA DIVISIÓN

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

En este artículo te voy a explicar un tema estratégico (de suma importancia) para tu aprendizaje de álgebra. El tema de la división. Por ejemplo, ¿Puedes decir de manera inmediata cuál es el resultado de las siguientes divisiones?

  • 4 entre 4
  • 3 entre 1
  • 0 entre 8
  • 56 entre 7

Si tus respuestas fueron 1, 3, 0 y 8 respectivamente, felicidades, si fallaste en alguna, presta mucha atención a la información que te voy a dar a continuación. ¿Sabías que el 90% de la población adulta no sabe dividir?

De hecho, se supone que aprendemos a dividir en el colegio, entre los 8 y 9 años de edad, sin embargo, el 90% de las personas adultas a las que les hemos aplicado estas 4 preguntas que acabas de responder ¡falla por lo menos en una!

¡El 60% falla en 2 o más! Y solamente el 10% acierta todas.

Por supuesto que cuando les aplicamos una división más complicada como 1475o.26 (catorce mil setecientos cincuenta punto dos seis)  entre 3.5 (tres punto cinco) ¡El 99% falla en su resultado!  Entonces, quizá el aprendizaje que tuvieron en primaria no fue el adecuado, pero no es tarde para corregir eso.

Una de las cosas más sorprendentes que hemos descubierto en las pruebas que les aplicamos a las personas es que muy pocos saben responder correctamente a la pregunta ¿Cuánto es 4 entre 4? Obviamente la respuesta es 1, porque estamos dividiendo una cantidad determinada entre la misma cantidad, lo mismo ocurriría si dividiéramos 8 entre 8 o 7 entre 7.

Analizando más profundamente a las personas que fallaron dos o más preguntas (el 60% de todos ellos), descubrimos que la clave está en que no sabían correctamente las tablas de multiplicar, para ser más específicos, las tablas del 4,  6,   7,   8  y   9.

Pero no creas que solo les preguntábamos las tablas al estilo de la primaria: 3 por 1, 3 por 2, 3 por 3, etcétera.  No, también les preguntamos las tablas salteadas, en orden distinto, y de la forma menos incómoda posible, pidiéndoles que realicen una multiplicación grande (digamos 6789743 por 436798)  con alto contenido de cifras 4, 6, 7, 8  y 9.

Esa es la más importante de todas las causas de que una persona falle al dividir, y por lo tanto falle tanto en matemáticas:  las famosas tablas de multiplicar.

Cuando les hacemos esa observación, nuestra intención es buena y positiva, no es una crítica. Porque cuando alguien que estudia álgebra no se sabe las tablas de multiplicar es un foco rojo, una señal clara e inminente de que no va a salir bien en álgebra. Afortunadamente, tuvimos varias pláticas con las personas  en quienes detectamos ese problema y lo tomaron con la filosofía y la madurez adecuada, el hecho de decirles que no se sabían correctamente las tablas les dio el valor de afrontar el problema y solucionarlo de una vez por todas.

No te imaginas cómo mejoraron sus habilidades para dividir y por ende de aprender álgebra tan solo con aprenderse esas tablas de memoria perfectamente.

Ahora bien, no creas que fue fácil, la memoria de un adolescente o de un adulto no es la misma que la de un niño de 8 años cuya mente es como una poderosa esponja que absorbe conocimientos. A muchos de ellos les costó bastante trabajo, pero tuvieron la fuerza para intentarlo y lo lograron. ¿Cómo lo hicieron? Realmente cada una de esas personas tomó las riendas de lo que tenía que hacer. No hay un método que sea mejor que otro para aprenderse las tablas de multiplicar. Lo único que sí resulta importante es tomar decisión y hacerlo ya mismo.

Pero yo quiero aprovechar esta historia para darte un mensaje de todo corazón, si tu también te has dado cuenta de que no te sabes bien las tablas de multiplicar del 4, 6, 7, 8, 9, no esperes a que alguien te pida que las aprendas, solo recuerda que si lo haces, darás un salto enorme hacia el éxito en matemáticas y tu futuro será prometedor.

Sinceramente. Profesor Raúl Vega Muñoz.

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4.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS CON FRACCIONES

Yo se que suena escalofriante el título, pero cuando descubras lo sencillo que es, si sigues los pasos que te decimos, muy pronto tu también podrás multiplicar polinomios que contienen fracciones de forma correcta.

Para que sea más sencillo, hemos creado unos vídeos que están geniales, tienes que verlos completos y luego regresas a hacer los ejercicios.

Aquí debe ir un video. ¿Donde está mi video?

4.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

El tema que vamos a analizar en este artículo es de máxima importancia para que puedas entender operaciones más complicadas como:  división de polinomiosproductos notables y factorización.

Te recomiendo leer el artículo completo, y ver los vídeos que incluye con mucha atención.  Al final encontrarás una serie de ejercicios para resolver, podrás comprobar tu solución, y puedes escribir en la sección de comentarios que se encuentra hasta abajo, cualquier duda que tengas, con gusto vamos a responderte.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS EN FORMA LINEAL

Cada paréntesis se denomina “factor”, el resultado de la multiplicación es el “producto”. El primer paréntesis es el factor 1, el segundo es el  factor 2.

Ejemplos:

Polinomio por polinomo

El procedimiento consiste en multiplicar el primer término del factor 1 por todos y cada uno de los términos del factor 2.  Después, multiplicar el segundo término del factor 1, también por todos y cada uno de los términos del factor 2.

Si tuvieras dudas de cómo se multiplican los términos, por favor revisa la lección 4.2 (clic aquí).

En el ejemplo que tenemos, vamos a multiplicar 4a por 8c y por 5d.

Después vamos a multiplicar -7b por 8c y por 5d.

El resultado es: 32ac+20ad-56bc-35bd

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4.2 MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS

La información que estás a punto de revisar, es clave, es de suma importancia para que puedas entender operaciones más complicadas como: multiplicación de polinomios, división de polinomios, productos notables y factorización.  Así que te aconsejo leer este artículo completo, esto te dará las armas necesarias para que aquellos temas te resulten mucho más sencillos.

La multiplicación de monomios (expresiones algebraicas que tienen un solo término) es sencilla, solo debes seguir en el orden correcto los siguientes pasos:

1) Debes multiplicar primero que nada los signos de acuerdo a la Regla o Ley de los Signos de la Multiplicación:

ley de los signos

2) En seguida, deberás multiplicar los coeficientes (números grandes que aparecen al principio de los términos).  Aquí debes tomar en cuenta que cuando no hay ningún número al principio de un término es porque su coeficiente es 1 (uno) “invisible”, para hacer más fáciles tus operaciones puedes agregarlo (escribirlo).

Ejemplo:  en el término:  

multiplicación

es conveniente hacer “visible” su coeficiente 1 y escribirlo:

Image1

3) Debes realizar la multiplicación de las variables. Cuando los monomios que se están multiplicando contienen variables diferentes, estas solamente se deben colocar juntas, respetando su exponente, como en el siguiente ejemplo:

multiplicación1

multiplicación2

Si te estás preguntando por el orden alfabético de las variables, no es tan importante, algunos profesores te solicitan que organices tus resultados alfabéticamente, pero ellos saben perfectamente lo que enuncia la propiedad conmutativa de la multiplicación: “El orden de los factores no altera el producto” de modo que la expresión:

multiplicación3

es equivalente a la expresión:

multiplicación4

Aun más importante resulta conocer qué sucede cuando hay variables iguales en los términos que se deben multiplicar, en esto casos, debemos sumar los exponentes de las variables de acuerdo a la siguiente regla de los exponentes:

regla exponentes

“Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, se deben sumar algebraicamente sus exponentes” (Sumar algebraicamente significa desde luego que si son exponentes de signos diferentes se resta y si son iguales se suma).

Para que este concepto quede perfectamente claro vamos a revisar varios ejemplos de ejercicios resueltos de multiplicación de monomios (VIDEO):

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

Cuando se multiplica una expresión algebraica que contiene varios términos (polinomio) por una que contiene un solo término (monomio), se deberá multiplicar el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio.

En el siguiente VIDEO vamos a revisar un ejemplo práctico de la multiplicación de POLINOMIO por MONOMIO:

Si te ha gustado este artículo, solo quiero pedirte un favor, deja un comentario, tu opinión, alguna duda que quieras aclarar, etc. Tus comentarios son muy importantes para nosotros.

Gracias. – Atentamente : Profesor Raúl Vega Muñoz.

4.1 MUTLIPLICACIÓN (ÁLGEBRA)

LA MULTIPLICACIÓN

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

La multiplicación es una operación que se relaciona profundamente con la suma. Ejemplo: Multiplicar 3 por 4 es equivalente a sumar “tres veces cuatro” o “cuatro veces tres”

Hay una propiedad de la multiplicación que se denomina “propiedad conmutativa de la multiplicación” y dice claramente: “El orden de los factores no altera el producto”, por eso 4 por 3 es lo mismo que 3 por 4.

Los factores son los números que se están multiplicando, en nuestro ejemplo el 3 y el 4 son los factores, y el producto es el resultado de la multiplicación. En nuestro ejemplo, el producto es el número 12.

De la misma manera, es exactamente lo mismo multiplicar 5 por 6 por 7 que multiplicar 6 por 7 por 5, en ambos casos el producto es 210.  En este ejemplo hay tres factores.

Si multiplicar 3 por 4 es equivalente a sumar “tres veces cuatro” entonces multiplicar 4 por 3 es equivalente a sumar “cuatro veces 3”

¿Hasta ahora tienes alguna duda? No dudes en escribirla en los comentarios. Tendrás respuesta inmediata.

TABLAS DE MULTIPLICAR DEL UNO AL CIEN

Aquí puedes descargar todas las tablas de multiplicar del 1 al 100, solo dale clic en el ícono de descarga que verás en seguida, te recomiendo imprimirlo y tenerlo a la mano, nunca sabes cuándo lo vas a necesitar. Tu me podrás decir “pero para eso hay caluladoras” y tienes razón, pero al tener las tablas podrás observar importantes detalles de la multiplicación, los múltiplos y divisores, etc.

download

Tablas de Multiplicar del 1 al 100

Tablas del 1 al 100

En el siguiente artículo veremos las reglas de los signos y la mutliplicación de términos algebraicos y más adelante, multiplicación de polinomios.

Por favor deja un comentario. ¡Tus comentarios son muy valiosos y los responderemos inmediatamente!

3.3 RESTA O SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

RESTA O SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Por: Raúl Vega Muñoz

Este artículo está en proceso de edición. Gracias por tu paciencia.

La resta o sustracción de polinomios es un proceso realmente sencillo, te recomiendo leer el artículo anterior (suma de polinomios) para comprender mejor este tema.

3.3 SUMA DE POLINOMIOS

SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS

Por: Raúl Vega Muñoz

Para sumar polinomios lo que debes hacer es sumar los términos similares (términos semejantes) o sea, los que tienen las mismas letras.  Analizaremos un ejemplo:

** En proceso de edición

Primero colocamos todos los términos juntos con su respectivo signo, procurando dejar juntos los términos similares:

** En proceso de edición

Ahora sumamos o restamos, dependiendo del signo, para que no te equivoques sigue las siguientes reglas de la suma y de la resta:

**

Este es el resultado final.

SUMA DE POLINOMIOS EN COLUMNAS

Hay otra forma de sumar polinomios y es en columnas, para que tú veas cuál método se te hace más sencillo, vamos a ocupar el mismo ejemplo que hicimos previamente:

** En proceso de edición

Ahora escribimos en forma de columnas, procurando que los términos similares queden uno encima de otro, respetando sus signos originales.

** En proceso de edición

Ahora hacemos la suma. columna por columna. A mi, se me hace más fácil así, pero esa es mi opinión.

** En proceso de edición

Para ver más ejemplos como este, te recomiendo el siguiente vídeo (pero no se te olvide dejar un comentario aquí abajo). Gracias !!!

 

 

 

 

Recuerda dejar tu comentario, es muy importante.

 

3.3 SUMA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

SUMA DE TÉRMINOS SIMILARES (SEMEJANTES)

Cuando queremos sumar monomios con monomios (recuerda que un monomio contiene un solo término) lo único que debemos evaluar es si se trata o no de términos semejantes. Por ejemplo:

Sumar -3b² con -2b²

En este caso son términos semejantes, ambos del mismo signo negativo, por lo tanto se suman y su resultado es simplemente: -5b²  (nótese que se deja el signo que comparten).

En este otro ejemplo vamos a sumar: -4a³b² con -5a²b³

Si observas con atención notarás que los exponentes no son los mismos, entonces a pesar de que tiene las mismas letras, no son términos semejantes. Por lo tanto no se pueden sumar ni restar.

Ahora, sumar -9x²y con 7x²y

Estos sí son términos semejantes, pero de diferente signo, se restan y su resultado es: -2x²y (con el signo del término de mayor valor absoluto).

Finalmente recordemos  cómo se realiza esta operación: ¾x³+½x³

También son términos semejantes pero sus coeficientes son fraccionarios. El resultado de la suma de fracciones es: 5/4 (cinco cuartos).  *Para una explicación detallada que incluye video, revisa el artículo siguiente: https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/20/3-7-suma-de-fracciones-quebrados-parte-2/

Entonces el resultado final es: 5/4x³

Esta explicación es breve, pero concisa, si deseas profundizar más en todos estos ejemplos, por favor revisa los artículos de la lección 3 en el siguiente enlace: https://cursosdealgebra.wordpress.com/2-2/

Deja un comentario para conocer tu opinión, tendrás respuesta inmediata y podemos aclarar tus dudas.

3.2 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

Los términos son los objetos de trabajo del álgebra. Una expresión algebraica es como una oración o enunciado en el que participan números y signos matemáticos. Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo a la cantidad de términos que contienen.  Si en una expresión algebraica participan varios términos, estos se separan unos de otros mediante signos de suma o de resta.

MONOMIOS

Los monomios son expresiones algebraicas que solo contienen un término. Ejemplos:  3, -8,  2x, 3xy

BINOMIOS

Los binomios son expresiones algebraicas formadas por dos términos separados por algún signo de suma o resta. Ejemplos de  binomios:  x+y, x-y, abc-def

TRINOMIOS

Los trinomios son expresiones algebraicas que contienen 3 términos separados mediante signos de suma o de resta. Ejemplos de trinomios:  2x-7y+4, 2a+3b+4c

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son los términos que a pesar de que tienen diferente signo y diferente coeficiente (el número que está al principio) lo que tienen idéntico son las letras (variables) y sus exponentes respectivos. Ejemplos de términos semejantes:  3x²  con   -4x² ,       -5x³y²  con  ¾x³y².

Los términos semejantes se pueden sumar o restar entre sí, a eso es a lo que se le llama reducción de términos semejantes, porque en vez de tener varios términos, se tiene al final uno solo, el resultado de la suma o de la resta. Por ejemplo, para los términos semejantes del ejemplo anterior: 3x²  con   -4x² se colocan uno junto a otro con su respectivo signo ya sea en este orden 3x² -4x²  o en este otro  -4x²+3x²  y como tienen diferente signo se restan y el resultado es -1x² o simplemente -x².

Recuerda que si los coeficientes tienen signos diferentes se restan y se coloca el signo del número de mayor valor absoluto, en el ejemplo que vimos se dejó el signo del número 4, el negativo.  En cambio, cuando los signos son iguales, por ejemplo los dos negativos, se deja en el resultado el mismo signo. Así, si queremos reducir los términos -5b-7b el resultado es -12b.

EJERCICIOS DE REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Realiza los ejercicios y escribe las respuestas que creas correctas aquí abajo en la sección de comentarios, de inmediato te daremos una calificación y te explicaremos todas tus dudas.

Espero que este artículo haya sido interesante y útil para tí. ¿Por qué no me dejas un comentario?

3.1 TÉRMINOS ALGEBRAICOS

TÉRMINOS SEMEJANTES

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

En álgebra, los términos son nuestros “objetos” de trabajo.  Tal como lo hacemos en la vida cotidiana al referirnos a un objeto como una mesa, por ejemplo, decimos “por favor acércame la mesa” y cualquier persona a nuestro alrededor entiende perfectamente el concepto, no es necesario decir: “el conjunto de tablas y clavos que están pegados unos con otros”.

De la misma forma, en álgebra los términos son expresiones formadas por diferentes piezas más pequeñas que guardan entre sí una relación especial que los mantiene juntos (como una familia de objetos que viven en la misma casa). Aquí te muestro algunos ejemplos de términos:

EL SIGNO

Hay diferentes clases de términos en álgebra. Algunos términos tienen signo positivo(+) mientras que otros tienen signo negativo(-), pero todos tienen signo. Cuando un término de signo positivo está al principio de una expresión algebraica por costumbre no se anota el signo, aunque se entiende que es positivo+.

EL COEFICIENTE

Inmediatamente después del signo, algunos términos tienen escrito un número real, por ejemplo 3, 5, 7, o incluso algunos tienen fracciones comunes como 2/5 (dos quintos), fracciones decimales como 3.6, etcétera.  Esa parte numérica se llama “coeficiente” y es muy importante saber que todos los términos poseen tanto signo como coeficiente.

Hay algunos términos que pareciera que no tienen signo o que no tienen coeficiente, por ejemplo los que te presento a continuación:

Sin embargo, cuando un término parece no tener coeficiente es porque “por convención” (es decir porque así se pusieron de acuerdo ciertos matemáticos) el coeficiente “uno” no se escribe (¡Está ahí, pero es invisible!)

Hay muchos números y signos ¡Invisibles! en álgebra, por ejemplo, aquí te muestro una expresión algebraica compuesta por varios términos, tu hazme el favor de decirme en que parte aparecen números o símbolos invisibles, toma una hoja de papel, copia la expresión algebraica que aparece a continuación, agrégale los datos invisibles que tú creas convenientes y luego compárala con nuestros resultados. Te sorprenderás.

Ahora vamos a ver esta misma expresión después de hacer “visibles” los números y signos que antes eran invisibles. Ahora puedes verlos en color rojo:

¿Sorprendido(a)? Déjame explicarte, en el primer término el signo es positivo invisible, el coeficiente es uno invisible, en el siguiente término, el que tiene coeficiente 1/3 la letra “a” tiene exponente 1 invisible (la potencia 1 no se escribe) y el último término es raíz cuadrada de “m” pero el índice “2” no se escribe.

Y aun cuando no puedas creerlo hay muchos más datos invisibles en esta expresión algebraica. Así es como se vería la expresión anterior si le escribiéramos todos sus datos invisibles (no vamos a entrar en detalles ahora, ya iremos entendiendo por qué conforme avances en el curso).

¡Pero no te asustes! No tiene por que ser tan difícil. Si te preguntabas por qué hay tantos números y signos invisibles es por esto, para evitar que las expresiones algebraicas parezcan saturadas de información.

Si estás de acuerdo conmigo, mejor nos quedamos con la expresión original y usamos nuestra poderosa imaginación para ver los datos invisibles sin necesidad de tenerlos escritos. ¿Ok?

LAS VARIABLES

Te habrás dado cuenta de que algunos términos tienen incluidas “variables” (letras, incógnitas o literales es lo mismo que variables). Algunos tienen una sola variable, otros términos tienen más de una y otros en cambio no tienen variables.

Cuando un término no tiene variables se dice que es un término independiente (un número común y corriente como en aritmética, cuando no se usaban las letras).

Cada letra tiene obligatoriamente un exponente (potencia), el número pequeño que se ubica arriba y hacia la derecha de cada letra. Algunas variables parece también que no tienen exponente, sin embargo, su exponente es UNO, también es un “uno invisible” porque así lo decidieron por convención.

A grandes rasgos eso son los términos algebraicos. En el próximo artículo veremos la suma y resta de términos semejantes (que se conoce también como reducción de términos semejantes) y de términos independientes.

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