2.6 OPERACIONES CON FRACCIONES COMUNES (PARTE 2)

OPERACIONES CON FRACCIONES COMUNES (PARTE 2)

En el artículo anterior (3.9) hablamos acerca de la multiplicación de fracciones, en este artículo te voy a explicar la división de fracciones comunes. En general, es una operación muy sencilla, pero muchos estudiantes suelen confundir la división con la multiplicación de fracciones.

Es común escuchar frases parecidas a esta: “recuerdo que hay una operación que se hacía cruzada, creo que es la multiplicación” Algo así como esto:

Pero están muy equivocados. No. La multiplicación no se realiza de esa forma, si tu ya leiste el artículo 3.9 sabrás que la forma correcta es numerador por numerador y denominador por denominador. Punto.

Pero la división es un poco diferente, déjame explicarte. Puedes dividir una fracción entre otra fracción de tres formas distintas y todas son correctas, ponme mucha atención.

DIVISIÓN DE FRACCIONES COMUNES (QUEBRADOS)

Para que quede perfectamente clara la división de fracciones y las tres formas de realizarla veamos un ejemplo concreto:

Dividir 3/4 entre 5/7 (tres cuartos entre cinco séptimos).

Para realizar la división  tenemos tres métodos que se basan en el mismo principio y por lo tanto aunque son un poco distintos todos son correctos.

Método 1. Dividir multiplicando de forma cruzada.

Se multiplica el numerador “3” de la primera fracción por el denominador “7” de la segunda y se anota arriba en la fracción que aparece como resultado.

Se multiplica el denominador de la primera fracción “4”, por el numerador “5” de la segunda fracción y se anota el resultado abajo en la fracción que aparece como resultado.

Observa esta operación y por favor compárala con la operación incorrecta de multiplicación “cruzada” que aparece al principio del artículo, este sí es una división en forma correcta, observa el signo de división en medio de las fracciones.

Método 2. Dividir multiplicando de forma directa pero invirtiendo la segunda fracción.

Antes que nada se invierte la segunda fracción (nunca la primera) y se multiplica de forma directa, numerador por numerador y denominador por denominador porque de hecho hemos convertido la división en una multiplicación normal de fracciones, en esencia estamos haciendo lo mismo que en el primer método.

Método 3. REGLA DEL SANDWICH DE 4 PISOS

Para mi punto de vista es la más adecuada y eficiente forma de dividir fracciones, y lo vas a comprobar cuando llegues a temas más avanzados de álgebra y otras ramas de las matemáticas. La famosa regla del sandwich o regla del emparedado o regla de la oreja. Como tú le quieras decir.

Se trata de colocar una fracción encima de otra de esta forma:

A mi me recuerda un sandwich de cuatro pisos. Pero lo más importante que me gustaría que observes es que la línea de división que aparece entre la fracción superior (3/4) y la fracción inferior (5/7) es más gruesa y más larga que las líneas de división de las fracciones participantes.

Acostúmbrate a escribirlas así, porque eso te va a facilitar hacer divisiones en las que participan no solo fracciones sino combinaciones de fracciones con enteros y fracciones mixtas que veremos en el siguiente apartado.

Finalmente se multiplica extremo por extremo (el 3 que está hasta arriba por el 7 que está hasta abajo) y medio por medio (los que quedan en medio 4 y 5, observa las líneas en forma de oreja 🙂

Si te ha gustado este artículo por favor deja un comentario. Este blog se actualiza y mejora día con día para ti, si algo le hace falta, si te parece genial, por favor deja un comentario, eso nos ayuda mucho. Gracias

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2.6 OPERACIONES CON FRACCIONES COMUNES

OPERACIONES CON FRACCIONES COMUNES

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz.

Ya hemos dedicado varios artículos muy completos al tema de la suma y resta de fracciones comunes (quebrados) porque esas operaciones aunque tu no lo creas, son las operaciones más difíciles que se puede hacer con fracciones.

La multiplicación y la división de fracciones son en cambio, operaciones mucho más sencillas de lo que son la suma y la resta de fracciones.

A continuación vamos a hablar acerca de la multiplicación de fracciones, posteriormente de la división y luego te voy a dirigir a unos ejercicios resueltos de operaciones con fracciones que incluye desde sumas y restas, hasta multiplicaciones y divisiones y operaciones combinadas (las más interesantes por cierto).

En este momento quiero hacer una pausa, si estás siguiendo este curso leyendo cada uno de los artículos y vas resolviendo los ejercicios, te felicito de todo corazón, porque eres una persona con tenacidad y entrega, capaz de lograr todas sus metas. Sigue adelante, no te rindas nunca, no te detengas en tu camino de progreso continuo y éxito tras éxito.   Gracias por depositar tu confianza en nuestro curso y así como tu te esfuerzas por seguir este curso con empeño y dedicación, así será la calidad de nuestro trabajo para servirte y apoyarte, suerte en tu camino.  Sigamos adelante.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Es muy fácil multiplicar fracciones, en esencia, lo único que tienes que hacer es multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador (los de arriba por los de arriba y los de abajo por los de abajo) es así de simple.

Por ejemplo, si quieres multiplicar 5/3 (cinco tercios) por 4/7 (cuatro séptimos) solo debes multiplciar 5 por 4 y 3 por 7, con lo que queda el resultado 20/21 (veinte veintiunavos, o veinte sobre veintiuno, que resulta más fácil de pronunciar).

En este caso el resultado es ese y no se puede simplificar más. Claro está, que habrá fracciones que se tienen que simplificar, por ejemplo, si multiplicamos 5/4 (cinco cuartos) por 8/7 (ocho séptimos) el resultado es:

Es 40/28 (cuarenta sobre veintiocho), pero 40 tiene mitad, 20 y 28 tiene mitad 14, o sea que equivale a 20/14 (veinte sobre catorce):

Pero todavía se puede simplificar más, equivale a 10/7 (diez séptimos) y esa fracción final ya no se puede simplificad más:

 

En este caso podemos dejar el resultado expresado como 10/7  pero como es fracción impropia (aquella donde el numerador 10 es mayor que el denominador 7) algunos profesores prefieren que se convierta a fracción mixta, para ello se siguen los pasos que se describen en este artículo:

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/09/23/leccion-1-los-numeros-reales-5/

Quedando como resultado final:

Si tienes dudas acerca de cómo simplificar fracciones y pasar de fracción impropia a fracción mixta te recomiendo repasar los artículos de la lección 1 para recordar.

Saludos!!!

2.4 EJERCICIOS RESUELTOS DE SUMA DE FRACCIONES

EJERCICIOS RESUELTOS

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Por: Raúl Vega Muñoz

La suma o adición de fracciones comunes o “quebrados” es uno de los temas más importantes de toda el álgebra y las matemáticas, pero también es un tema muy fácil de olvidar, sobre todo, porque no es un tema muy agradable que digamos, casi todo mundo ha tenido alguna vez un mal recuerdo sobre las fracciones.

Pero si has leido el artículo

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/20/3-7-suma-de-fracciones-quebrados-parte-2/

y has visto los videos que contiene, entonces ahora mismo debes tener una idea mucho más clara de cómo se resuelven las operaciones con fracciones. Pero este tema es de los que requieren una buena cantidad de ejercicios resueltos paso a paso, así que en este artículo iremos agregando dia con dia cada vez más ejercicios resueltos.

Agrega este artículo a favoritos o marcadores de tu navegador, para consultarlo con frecuencia, ve realizando los ejercicios que vamos publicando, los videos que vamos añadiendo dia con dia.

Suerte.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR

Dale click al siguiente enlace, el documento está en formato PDF, puedes guardarlo en tu computadora y compartirlo con tus amigos.

Suma y Resta de Fracciones Comunes con el Mismo Denominador

Una vez que descargues el documento procura realizar todos los ejercicios tu mismo(a) antes de leer las soluciones que te damos.

A continuación te explico algunos importantes detalles sobre las soluciones que escribimos en Cursos De Algebra.  La solución del primer inciso es 10/3, una fracción impropia, ese es el resultado correcto pero se puede expresar también en forma de fracción mixta o compuesta: 3 1/3 (tres enteros un tercio).

Un caso similar se observa en los incisos 4, 5 y 6, pero observa que aunque en teoría en el inciso 3 se obtiene -8/4  una fracción impropia, esta fracción no se puede expresar como mixta, solo se tiene que dividir 8 entre 4 y obviamente es 2 (con signo negativo).  Cualquier duda por favor deja un comentario, también si te gusta el artículo.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR

A continuación hay algunos ejercicios resueltos de suma y resta de fracciones comunes (quebrados) con diferente denominador.

Suma de fracciones con diferente denominador

Si te han gustado o si tienes alguna duda por favor escríbela aquí abajo en los comentarios, tendrás una pronta respuesta.

Aquí te  explico cómo obtener el mínimo común múltiplo de los últimos dos incisos.

MCM de 9, 4, 5 y 3

MCM de 36 y 236

En breve agregaremos más ejemplos, ahora siguen los de suma y resta de fracciones junto con números enteros y fracciones mixtas o compuestas.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Y NÚMEROS ENTEROS

En este link encontrarás ejemplos resueltos de suma de quebrados (fracciones comunes) con números enteros y fracciones mixtas.

Suma de Fracciones con Numeros Enteros y Fracciones Mixtas

Si este artículo ha sido de tu utilidad, compártelo en Facebook y Twitter, es algo que a tus amigos les va a servir incluso si ya pasaron álgebra, porque este tema de la suma de fracciones se necesita también en trigonometría, en geometría analítica, en cálculo diferencial e integral, en estadística y en general en prácticamente todas las ramas de las matemáticas.

En la mayoría de los libros no hay una explicación tan sencilla y tan clara, así que diles a todas las personas que puedas que vean este artículo. Solamente copia el enlace y pégalo en donde quieras. Gracias.

2.4 SUMA DE FRACCIONES (QUEBRADOS) PARTE 2

SUMA DE FRACCIONES COMUNES

(QUEBRADOS: PARTE 2)

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

En este artículo y el video que tiene incluido, te explico con todo detalle cómo resolver sumas de fracciones y restas de fracciones con diferente denominador de una forma muy sencilla.

Si prestas atención a cada detalle de este artículo y del video que lo acompaña, si lo lees varias veces y repites el video, comprenderás perfectamente cómo realizar esas operaciones y nunca más volverás a equivocarte, te recomiendo agregar a favoritos o marcadores de tu navegador para tener este recurso a la mano porque la suma y resta de fracciones comunes es uno de los procedimientos que más vas a utilizar no solo en álgebra, también en trigonometría, en geometría, en geometría analítica, en cáculo diferencial e integral y en todas las demás ramas de las matemáticas. Te lo aseguro.

CASO 2.  SUMA Y RESTA DE FRACCIONES COMUNES CON DIFERENTE DENOMINADOR

La clave para poder realizar estas operaciones está en el dominio que tengas en la división y en la obtención del mínimo común múltiplo. Si aun no dominas estos temas clave, te recomiendo sinceramente, con todas las ganas del mundo, que leas los siguientes artículos y veas los vídeos que contienen antes de seguir con este tema, así lograrás sacar el máximo provecho de esta lección. Te lo aseguro.

Artículo 1:

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/02/leccion-2-minimo-comun-multiplo/

Artículo 2:

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/19/3-6-suma-de-fracciones-quebrados/

Si ya leiste los artículos mencionados y viste los vídeos, y no tienes ninguna duda de cómo obtener el mínimo común múltiplo, entonces la siguiente explicación será muy sencilla para tí.

Primero observa cuidadosamente el siguiente vídeo, te va a encantar. Te recomiendo tener algo en que escribir a la mano, ve tomando toma notas, repite el vídeo varias veces, y luego solo anota el resumen de instrucciones que está más adelante y desde ahora dominarás la suma y resta de fracciones.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

RESUMEN DE INSTRUCCIONES

Cuando debemos sumar, o restar o hacer combinaciones de sumas y restas de dos o tres o más fracciones comunes (quebrados), lo primero que tenemos que obtener es el mínimo común múltiplo de los denominadores de todas las fracciones.

Una vez que tienes el mínimo común múltiplo, debes escribir una línea larga después del signo “igual” y debajo de esa línea larga debes escribir el mínimo común múltiplo (MCM).

En seguida tienes que dividir el MCM entre todos y cada uno de los denominadores de las fracciones, y los resultados de esas divisiones se anotan encima de cada fracción, de preferencia con otro color, como el rojo.

Luego debes multiplicar esos números por los numeradores de cada fracción, tomado el signo de la fracción correspondiente y se escriben esos resultados encima de la línea larga, respetando signos.

Finalmente se hacen las operaciones de suma o de resta encima de la línea larga y se anota el resultado, copiando el denominador. Si se puede simplificar la fracción obtenida se simplifica o se expresa como fracción mixta en caso de tratarse de una fracción impropia.

Esto es todo, si te gusta este artículo recomiéndalo, compártelo, y suscríbete a nuestro canal de YouTube y al Curso Basico de Algebra por Internet.

2.4 SUMA DE FRACCIONES COMUNES (QUEBRADOS)

SUMA DE FRACCIONES COMUNES

(QUEBRADOS)

Si finalmente has decidido de una vez por todas aprender y dominar las operaciones con fracciones estás en el lugar indicado, y este artículo es el más importante que hayas leído sobre el tema de la suma de fracciones.

Por:  Profesor Raúl Vega Muñoz

Para dominar correctamente el tema de la suma de fracciones comunes (también llamadas quebrados) como 3/4 (tres cuartos) y 2/5 (dos quintos) es fundamental e imprescindible que domines el tema del Mínimo Común Múltiplo y los números primos.  Para lograr ese objetivo lee este artículo y ve los videos completos:

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/02/leccion-2-minimo-comun-multiplo/

Video 1:

Video 2:

Si tu ya viste estos dos videos, y leiste el artículo, y dominas perfectamente el tema del mínimo común múltiplo y máximo común divisor, y te sabes de memoria los primeros 10 números primos, por lo menos, estás listo(a) para aprender perfectamente a sumar y restar fracciones, uno de los temas más escabrosos (terribles, desafiantes) de cualquier estudiante durante su estudio del álgebra y las matemáticas.

Si todavía no dominas el MCM y el MCD es como ir a la guerra sin armas, ¿Te atreverías? No verdad, entoces, a partir de ahora, solo si vienes preparado, sigue, si no, regresa y ve los videos.

COMENZAMOS…

CASO 1. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES QUE TIENEN EL MISMO DENOMINADOR

Cuando las fracciones que deseamos sumar o restar (o combinaciones de suma y resta) tienen el mismo denominador, sin importar si estamos trabajando con dos fracciones, tres fracciones, cuatro fracciones o más, el procedimiento es muy sencillo, lo único que tienes que hacer es escribir a continuación un signo “igual” y una línea larga, debajo de la cuál copias el mismo denominador que tienen todas las fracciones, observa los siguientes ejemplos:

En seguida se copian los numeradores (los números de arriba) con todo y el signo que tiene su propia fracción, encima de la línea larga, uno junto a otro, respetando signos:

A continuación se realizan las sumas o restas que hay encima de las lineas largas, así, en el ejemplo “A” la operación +3+7 da como resultado +10. Escribimos en seguida de la linea larga el resultado copiando el denominador.

A manera de ejercicio, resuelva las operaciones de los ejemplos B, C, D.  Escribe tus respuestas en los comentarios.

En el siguiente artículo te explicaré con todo detalle cómo realizar suma y resta de fracciones, cuando los denominadores son diferentes (CASO 2).

Si te gusta este artículo compártelo y deja comentarios. Gracias

2.3 SUMA DE FRACCIONES DECIMALES

SUMA DE FRACCIONES DECIMALES

Por: Raúl Vega Muñoz

La suma de fracciones decimales o suma de números decimales se realiza de la siguiente forma:

  • Escribe todas las cantidades que desees sumar poniendo una encima de otra de tal forma que los puntos decimales queden uno encima de otro, alineados. Por ejemplo, si queremos sumar las cantidades siguientes: 32.456 + 127.67 + 1256.3978 + 3.4  (observa que las cantidades  difieren tanto en el número de cifras enteras como de cifras decimales que contienen, con la finalidad de que esto sea más ilustrativo). Se deberán acomodar de la siguiente forma:
  • A continuación se deben sumar las cifras que están en la misma posición decimal o entera respecto del punto decimal. Se baja el punto decimal para que quede en el mismo nivel en lo que será el resultado. Si cuando sumamos se obtiene 13 por ejemplo, se escribe abajo el 3 y “llevamos” 1.

En el esquema, los números que “llevamos” se van anotando hasta arriba, también participan en la suma.

Comprueba el resultado usando tu calculadora y también sin usar calculadora.

¿Que sucede si tenemos que realizar la siguiente operación? Sumar (o restar, según sea el caso) 3.5 – 6.78 + 91.223 – 4.3478 – 0.2

Evidentemente, primero te recomiendo sumar los números (términos o sumandos) positivos unos con otros y por otra parte sumar los números (términos o sumandos) negativos unos con otros, agregándole signo negativo al resultado de estos, y luego restando los resultados de la suma de positivos menos el resultado de la suma de negativos.  Hazlo y escribe tus resultados en los comentarios.

Luego realiza la siguiente suma de fracciones decimales sin usar calculadora, siguiendo el método que te acabo de explicar.   Sumar: 12.6789 + 236.98573 + 2.45 +3561.673   Escribe tu resultado en los comentarios.

También deja un comentario si te sirvió este artículo, y no te pierdas este curso de álgebra. Te va servir sin duda. Inscríbete  ahora mismo, por fin aprenderás álgebra, también revisa nuestro canal de YouTube.com/clasesdealgebra, te gustarán nuestros videos.

2.1 LA SUMA ALGEBRAICA

SUMA O ADICIÓN, RESTA O SUSTRACCIÓN O DIFERENCIA, SUMA ALGEBRAICA

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz   AUN EN EDICIÓN 

Esta lectura está hecha para estudiantes de 10 años en adelante, estudiantes de secundaria, bachilleres, e incluso universitarios. En matemáticas existe mucha confusión cuando hay que hacer operaciones de números con signo, la mayoría de los estudiantes confunde la suma y la resta con la multiplicación, o simplemente se equivoca en los signos y no encuentra dónde estuvo el error. Este capítulo es la solución exacta a tus problemas de signos, si lo lees completo, entenderás al fin cómo se hace. No más confusiones.

SUMA O ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Recuerda que aprendiste a sumar entre los 6 y 7 años de edad, con números naturales (enteros positivos).  En ese momento, cuando aprendiste el concepto de suma no tenías idea de que existieran números negativos o de que el cero puede sumarse, o de que había fracciones o números decimales y que se pueden sumar combinaciones de números diferentes.  

Se entiende como suma o adición, a la operación matemática representada por la expresión:

a+b

Esto es muy fácil de entender, cuando trabajamos exclusivamente con enteros positivos (números naturales), por ejemplo, si a y b toman los siguientes valores:

adicion

Entonces la suma o adición sería de la siguiente forma:

suma o adicion

Se que esto parece muy obvio pero por favor, continua leyendo, te prometo que aprenderás muchas cosas importantes. Precisamente, por no dedicarle unos minutos a entender lo que verás en esta página, después se va complicando mas y mas, Date la oportunidad de entender perfectamente los signos en álgebra.

RESTA O SUSTRACCIÓN O DIFERENCIA DE NÚMEROS NATURALES

La operación matemática de resta (también conocida como sustracción o diferencia) está representada por la expresión:

resta o sustraccion

Nuevamente, utilizando números naturales, como por ejemplo:

resta o diferencia

Entendemos fácilmente que la operación da como resultado:

sustraccion o diferencia

En este punto es muy importante aclarar una cosa; aprendiste a realizar esta operación a temprana edad y en todas las restas con las que aprendiste, el primer número siempre es más grande que el segundo. Es decir, no se te presentaba el problema de a un número pequeño ¡restarle un número grande!  Ejemplo:

La razón por la que aprendiste a suma y restar en estas condiciones es porque mentalmente, asociamos el concepto de suma de números naturales, con el concepto de unión de conjuntos.

Ejemplo: sumar 3 más 4 es como reunir un conjunto de 3 bolas rojas con otro conjunto de 4 bolas verdes (unión de conjuntos):

También aprendimos a restar, asociando el concepto de resta de números naturales con el concepto de resta de conjuntos.

Ejemplo: restar 10 menos 4 es como tener inicialmente un conjunto de 10 bolas azules y “quitarle” 4 bolas, de lo cual queda un conjunto de solamente 6 bolas.

Es exactamente aquí donde radica el problema de comprensión de tratar de restar un número grande de un número pequeño. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de 3 bolas moradas  y queremos restarle 7 ¿Cómo se supone que le vamos a “quitar”  7 bolas si solamente tenemos 3? La respuesta es muy simple: “Quedar a deber” 4.

Vemos que los conjuntos no son muy útiles cuando hay que considerar la resta de números como el ejemplo anterior.

Además, en algún momento, pudo ser en la primaria (educación elemental) o en la secundaria, empezamos a ver operaciones con números enteros positivos y negativos. Por eso se introdujo un modelo más adecuado para todas las operaciones de suma y resta: la recta numérica.

Observemos cómo se aplica el modelo de suma y resta sobre la recta numérica:

SUMA ALGEBRAICA

La suma algebraica es una operación que se lleva a cabo entre dos o más cantidades reales, que pueden ser cualquier número positivo, negativo, neutro, entero, fracción decimal o fracción común.

No se puede hacer una suma con un solo número pero si tenemos dos o más sí es posible. De hecho hay sumas infinitas con infinitos elementos a sumar.

Cuando aprendimos a sumar y restar en la primaria (educación elemental) comprendimos la operación 4-3=1 como una “resta”, “sustracción” o “diferencia” mientras que la operación 4+3=7  la asimilamos como una “suma” o “adición”.

Sin embargo, en este artículo veremos la suma algebraica como algo mucho más general.  Te explicaba hace un instante que podemos sumar prácticamente cualquier número real con otro.

En Álgebra se entiende por “variable” o “literal” o “incógnita” a una letra del alfabeto que representa cualquier cantidad.  Así, “a” puede representar a cualquier número real mientras que “b” representa a otro número real.

a podría valer -1234 como podría valer 34/57  o  -5 (cualquier valor)

podría valer -1235 como podría valer 35/57  o  -6 (cualquier otro valor distinto del valor de a)

Entonces se entiende por suma algebraica la operación :  a + b    donde el signo que aparece en medio de las letras no es que “b” sea positivo sino que es el signo de suma u “operador” de suma.

Si de antemano sabemos por ejemplo que a=-12 y b=-15 entonces al sustituir los valores de a y de b quedaría la expresión:

a+b=(-12)+(-15)

Habrás notado que cuando quitamos la letra “a” colocamos paréntesis en su lugar y dentro del paréntesis el valor numérico asignado a la letra “a”. De la misma forma quitamos “b” y colocamos un paréntesis que contiene el valor numérico de “b” pero respetamos el signo de suma “operador” que estaba en medio, ahora quedó en medio de los paréntesis.

En el próximo artículo extenderemos este importante tema. Deja un comentario por favor.

1.9 FRACCIONES DECIMALES

LAS FRACCIONES DECIMALES

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Conocer las fracciones decimales (números con punto decimal) es vital para tu aprendizaje de álgebra, ya que no todos los resultados son números enteros. A veces, pasamos por la escuela creyendo que sabemos todo lo necesario acerca de los números con punto decimal, y al llegar a los temas avanzados de álgebra, geometría o cálculo ¡OMG! nos damos cuenta de que necesitamos repasar conceptos básicos con urgencia. No lo dejes al último. Debemos tomar en cuenta que estos conceptos los hemos aprendemos en el transcurso de la educación primaria, y no siempre ha sido la forma correcta.

Si lees esta lección con atención, si ves los vídeos que contiene y realizas los ejercicios te prometo que aprenderás cómo se convierten los diferentes tipos de fracciones, y esto te va a servir para saber realizar operaciones (lo veremos más adelante) de una manera mucho más sencilla. Te recomiendo leer este artículo más de una vez. No te quedes con dudas, nosotros responderemos tus preguntas, ya sea en la sección de comentarios, en nuestro Twitter o en nuestro Facebook.

QUÉ SON LAS FRACCIONES DECIMALES

Una fracción decimal está formada por una “parte entera” y una “parte decimal”. La parte entera está ubicada del lado izquierdo del punto decimal y se compone de “cifras enteras” mientras que la parte decimal está ubicada del lado derecho del punto decimal y contiene “cifras decimales”, veamos un ejemplo: la fracción decimal 786.3425 tiene la siguiente estructura:

Nota:  En varios países se utiliza la “coma decimal” en vez del “punto decimal” para separar la parte entera de la parte decimal. Si en tu país utilizan ese sistema, por favor interpreta el “punto decimal” como una “coma decimal”.

Cada cifra decimal y cada cifra entera recibe un nombre específico de acuerdo a su posición, o qué tan lejos está del punto o coma decimal. La primera cifra entera a la izquierda del punto se llama “unidades”, la segunda se llama “decenas”, la tercera se llama “centenas”… etc. En el ejemplo anterior, tendríamos 6 unidades, 8 decenas, 7 centenas. ¿Correcto?

La primera cifra decimal, a la derecha del punto o coma decimal, se llama “décimos”, en el ejemplo que vimos serían 3 décimos y también se puede escribir como 3/10 (tres décimos); la segunda cifra decimal se llama “centésimos”, en el ejemplo anterior tenemos 4 centésimos, que también se simbolizan como 4/100 (cuatro centésimos); la tercera cifra decimal (en este ejemplo la cifra 2) se llama “milésimos”, y se simboliza como  2/1000 (dos milésimos); la cuarta cifra decimal (en este ejemplo la cifra 5) se llama “diezmilésimos”, y se simboliza como 5/10000 (cinco diezmilésimos).

Esa forma de representar 3/10 tres décimos, se dice que es en forma de “fracción común”.

En la figura siguiente puedes ver en forma de resumen los nombres que recibe cada una de las cifras decimales y de las cifras enteras.

Ejercicio de Práctica 1.3 A:

Ahora intenta tu aplicar este conocimiento adquirido, escribe los nombres de cada una de las cifras de las siguientes fracciones decimales:

12.3456

234.56789

4283.12

Escribe tus resultados en la sección de comentarios de abajo o en la página de Facebook o Twitter, para que nuestro equipo de profesores los revise y califique. Por favor escribe como título “Ejercicio 1.3A”

CÓMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES EN FRACCIONES MIXTAS

Una fracción decimal se puede convertir en fracción común o en fracción mixta. Veamos unos ejemplos:

3.5 es una fracción decimal, pero se puede convertir a su forma de fracción común: 7/2, a pesar de que se ven muy diferentes, son números equivalentes, son exactamente el mismo número.

4.65 es una fracción decimal, pero se puede convertir a su forma de fracción mixta 4 65/100 (cuatro enteros, 65 centésimos) o su equivalente simplificada 4 13/20 (cuatro enteros, 13 veinteavos).

Toda fracción mixta se puede pasar finalmente a su forma de fracción común, así por ejemplo 4 13/20 al final quedaría como 93/20 (noventa y tres veinteavos).

A continuación veremos detalladamente cómo se hacen estos procedimientos, primero veremos cómo pasar de fracción decimal a fracción mixta (que es un paso intermedio antes de llegar a la fracción común).

Tomemos como ejemplo la fracción decimal 34.125. Sus cifras decimales son 1 décimo, dos centésimos y tres milésimos, respectivamente.

Que también se pueden representar como 34 enteros, 1/10,   2/100,   5/1000  así:

Ya que están presentes 3 cifras decimales, la cifra decimal dominante es la última, en este caso los “milésimos”, entonces decimos que son 34 enteros, 125 milésimos y se puede escribir como sigue:

La fracción que obtuvimos se denomina “Fracción Mixta” o “Fracción Compuesta” y como puedes observar, la parte entera continua siendo parte entera, mientras que la parte decimal se ha convertido en una fracción común.

Recuerda esto: El hecho de que escribamos 1000 como denominador es porque en la fracción decimal original 34.125 tenemos 3 cifras decimales, si solo fueran 2 cifras decimales hubiéramos escrito un 100 como denominador y si solo tuviera una cifra decimal hubiéramos colocado un 10 como denominador.

Para comprender mejor observa cómo se convierten las siguientes fracciones decimales a fracciones mixtas:

Aqui va el video explicativo (próximamente)

Ejercicio de Práctica 1.3B

Ahora hazlo tú para verificar que has comprendido bien este procedimiento, convierte las siguientes fracciones decimales a fracciones mixtas:  

a) 32.12

b) 125.528

c) 5.7826

d) 12.5  

Escribe tus respuestas en la sección de comentarios o en nuestro Facebook con el título Ejercicio 1.3B.

CÓMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES EN FRACCIONES COMUNES

Ahora que sabemos cómo convertir de fracción decimal a fracción mixta, nuestro objetivo es convertir la fracción mixta a fracción común.  Lo que hemos aprendido hasta ahora es un paso intermedio, es decir, siempre que debemos convertir una fracción decimal a fracción común, vamos primero a obtener la fracción mixta.

A continuación te voy a explicar el paso siguiente: cómo convertir de fracción mixta a fracción común, es decir, una fracción que sea equivalente pero que no contenga parte entera, solamente numerador y denominador.

El procedimiento es muy sencillo. Se multiplica el entero por el denominador de la fracción mixta por del denominador de la fracción, y luego al resultado que obtenemos se le suma el numerador de la fracción, ese número que obtenemos será el numerador de la nueva fracción. El denominador de la nueva fracción será el mismo denominador que tenía la fracción mixta.

En el ejemplo anterior sería de la siguiente forma:

Veamos otro ejemplo completo:

En ambos casos que hemos revisado, obtuvimos fracciones comunes a partir de fracciones decimales, sin embargo no las hemos simplificado, las fracciones comunes se pueden simplificar, por ejemplo, la fracción 1248/100 se puede simplificar si obtenemos la mitad del numerador y la mitad del denominador, hasta que ya no se pueda.

La fraccion -14/10 se puede simplificar de forma similar.

En las próximas lecciones y vídeos se explicará con mayor detalle cómo simplificar fracciones, ya que es un tema mucho más amplio que requiere la comprensión de otros conceptos (mínimo común múltiplo, máximo común divisor).

Espero sinceramente que esta explicación te sirva y te invito a convertir las siguientes fracciones decimales a fracciones comunes y simplificarlas hasta que ya no sea posible:

Ejercicio de Práctica 1.3C

a) -2.32

b) 4.56

c) 7.231

d) -3.47

e) -0.56

Resuelve esas fracciones y escribe tu resultado en la sección de comentarios, o en Facebook, también dime si tienes alguna duda, con gusto la responderé.

COMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES INFINITAS PERIÓDICAS A FRACCIONES COMUNES

Cómo convertir fracciones decimales infinitas periódicas a fracciones comunes.  Este tema es mucho más avanzado que los temas que estamos revisando en esta lección, pero como de alguna manera está relacionado con lo que estamos viendo, por si te sirve puedes descargar el documento PDF a continuación.

Te repito, no es necesario que comprendas este último procedimiento, si lo ves muy complicado no te preocupes, posteriormente lo volveremos a revisar, porque requiere conocimientos que veremos adelante. Para descargarlo debes dar clic en el siguiente enlace.

Fracciones Infinitas Periodicas

Si te gustó esta lección por favor regálame un comentario y compártela con tus amigos, les estarás ayudando bastante porque este tema es de los más importantes y casi nunca se ve en clases un repaso como este, ellos te lo agradecerán.

1.8 FRACCIONES COMUNES

NÚMEROS RACIONALES:  FRACCIONES COMUNES O “QUEBRADOS”

En el capítulo sobre la clasificación de los números reales, explicamos que estos se subdividen en números irracionales y números racionales. Estos últimos, son los que tienen la facultad de poder expresarse como fracciones comunes o quebrados.

Una fracción común es aquella que tiene forma de división de dos pisos (por así decirlo) con un “numerador” en la parte de arriba y un “denominador” en la parte de abajo. Ejemplos de fracciones comunes son: 2/3,  3/4,  5/8,  etc.

De un a manera simple, verás en muchos libros que los números racionales incluyen tanto a los números enteros como las fracciones comunes. Esto es porque los enteros pueden expresarse fácilmente como fracciones comunes, tan solo con agregarles un denominador uno “1” debajo. Así, por ejemplo, el entero 4, se puede expresar como 4/1, el entero -3 se puede expresar como -3/1

Sin embargo, esa forma de definir a los números racionales es insuficiente, porque no explica algo más importante y más profundo. En realidad, los números racionales incluyen a tres tipos de números:

  • Enteros positivos, negativos y neutros (cero)
  • Fracciones decimales infinitas periódicas
  • Fracciones decimales finitas

Las fracciones decimales finitas son símplemente los números con punto decimal, donde sus cifras decimales son finitas, esto es, que llegan a un fin, por ejemplo: 3.4 que solo tiene la cifradecimal “4”, o por ejemplo 3.567 que solo tiene tres cifras decimales (5, 6, 7) o incluso esta: 4567.399340809656216745593 que aunque tiene muchas cifras decimales (21 en total) estas se terminan.

A diferencia de las anteriores, las fracciones decimales infinitas periódicas tienen cifras infinitas, pero se repita una o más cifras, ejemplos:

1.333333333333333333333333333333333333333333333333….

23.4545454545454545454545454545454545454545454545….

133.876587658765876587658765876587658765876587658….

Estas últimas, se pueden abreviar con un pequeño guion encima de las cifras que se repiten hasta el infinito.

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La cualidad de estos tres tipos de números, los enteros que abreviaremos como (E) aunque oficialmente se usa la Z, pero queremos facilitar la comprensión, las fracciones decimales finitas (FDF) y las fracciones decimales infinitas periódicas (FDIP) es que se pueden todos expresar como fracciones comunes, es como si se disfrazaran, por así decirlo. Por ejemplo, la FDF 0.5 se puede “disfrazar” como 1/2, comprueba dividiendo el numerador 1 entre el denominador 2 y obtendrás 0.5, lo que demuestra que 1/2 es lo mismo que 0.5.  En el capítulo siguiente veremos los pasos para hacer la conversión.

Una FDIP como 1.333333333… también se puede “disfrazar” de fracción común, por ejemplo, esta equivale a 4/3, comprueba dividiendo 4 entre 3. También trataremos en el capítulo posterior los pasos para convertirla aunque esto por ahora no es necesario. Solo queremos exponer que son a grandes rasgos los números racionales.

Y en cuanto a los enteros, como ya lo habías expuesto previamente, es muy fácil expresarlos en forma de fracciones comunes, tan solo con ponerles un denominador 1.

FRACCIONES COMUNES EQUIVALENTES

Una fracción común cualquiera, como 3/4, tiene INFINITAS formas equivalentes, podemos comprobar mediante una calculadora, que 3/4 es equivalente a 6/8, ya que al dividir en ambos casos el numerador entre el denominador, obtenemos 0.75, lo que demuestra que son exactamente el mismo número pero “disfrazado” o dicho más apropiadamente “expresado” de distintas maneras.

Comprueba también que 3/4 tiene como equivalentes 9/12,  15/20, 18/24, etc.

Si eres observador(a) verás que lo único que hice fue multiplicar el numerador y también el denominador de la fracción original 3/4 por la misma cantidad, por ejemplo, al multiplicar 3 por 5 da 15, y 4 por 5 da 20, de ahí saqué 15/20.

¿Por cuánto hube de multiplicar el numerador 3 y el denominador 4 para obtener 18/24?  Por supuesto, por 6. Es importante aclarar que se debe multiplicar siempre por la misma cantidad al numerador y al denominador de una fracción para obtener fracciones comunes equivalentes.

Pero también se pueden obtener fracciones equivalentes dividiendo al numerador y obviamente también al denominador entre la misma cantidad.  Por ejemplo, si quiero obtener fracciones equivalentes de 25/15 puedo dividir tanto al numerador como al denominador entre 5 obteniendo así 5/3.

En breve vamos a agregas más ejemplos, ejercicios y videos en este capítulo, pero te recomiendo ver el siguiente ahora mismo.

1.7 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

El más pequeño de los múltiplos comunes para dos o más números de referencia es el mínimo común múltiplo.  Vamos a poner un ejemplo: Supongamos que conocemos todos los múltiplos del número 27 y todos los múltiplos del número 45.  Desde luego esto solo es una suposición, porque los múltiplos para cada número de referencia son infinitos.  Aquí mostramos una parte de la enorme lista de múltiplos de estos números 27 y 45:

Puedes notar que hay múltiplos comunes, se llaman así porque aparecen tanto en la lista (tabla de multiplicar) del 27 como en la del 45. Esos números son: 135, 270, 405…  también el 540 (aunque no se ve del lado izquierdo) y en general todos los múltiplos de 135.  Precisamente ese pequeño número, el más pequeño de los múltiplos comunes es el mínimo común múltiplo.

Para obtener el mínimo común múltiplo se emplea un método clásico, que toma en cuenta los números primos de los que hemos hablado en artículos anteriores.  Aquí se muestra el procedimiento para obtener el mínimo común múltiplo de 27 y 45:

Se colocaron los números 27 y 45 encima de una línea recta horizontal (en color rojo), también se dibujó una línea recta vertical (también en rojo).  Se dividió el 27 entre 3 y también el 45 entre 3, por eso aparece un número 3 del lado derecho de la línea vertical.

Los números 9 y 15 de la nueva fila también se dividieron entre 3, obteniéndose 3 y 5, respectivamente en la tercera fila (renglón). Se intentó dividir  esta nueva fila entre 3, por eso aparece un 3 también al final de la tercera fila, pero solo se logró dividir al 3, el 5 no se logró dividir entre 3 por eso se bajó idéntico.

La nueva fila conformada por los números 1 y 5 ya no es posible dividirla entre 3, se optó por el 5, por eso aparece un 5 al final de la cuarta fila. Finalmente se tiene en la quinta fila solamente números uno. Aquí termina el proceso al que se le conoce como “factorización prima”.

Por último, el mínimo común múltiplo se obtuvo multiplicando todos los números que quedaron del lado derecho de la línea vertical, a esos números se les llama “factores primos”.

Hablaremos más de este procedimiento muy pronto. Si te ha gustado este artículo por favor deja tu comentario.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (MCD) de varios números de referencia, por ejemplo 10, 15 y 20, es aquel número pequeño en este caso el número 5 que puede dividir perfectamente a los números de referencia 10, 15 y 20.

Si dividimos 10 entre 5 obtenemos 2 (división exacta), si dividimos 15 entre 5 obtenemos 3 (también es división exacta), y si dividimos 20 entre 5 obtenemos 4 (otra división exacta).

El máximo común divisor aunque su nombre “máximo” nos hace pensar en un número grande, pero en realidad es todo lo contrario, siempre va  a ser un número pequeño, tan pequeño como el número de referencia menor o aun más pequeño, como en el ejemplo que acabamos de ver.

Veremos otro ejemplo: El máximo común divisor de 12, 24 y 36 es 12. Es del mismo tamaño que el más pequeño de los números de referencia. Al dividir 12 entre 12 obtenemos 1.  Al dividir 24 entre 12 obtenemos 2 y al dividir 36 entre 12 obtenemos 3. Todas divisiones exactas.

El procedimiento para obtener el máximo común divisor es exactamente idéntico al procedimiento que explicamos para obtener el mínimo común múltiplo (MCM), en artículos anteriores.

Para ver cuál es la pequeña diferencia entre un procedimiento y otro, hemos creado un video en el que te explicamos con todo detalle ambos procedimientos.  Cuando veas el video observa que la “columna de factores primos” del máximo común divisor, contiene algunos números encerrados y otros que no están encerrados. Si multiplicas todos los factores primos obtienes el mínimo común múltiplo, pero si multiplicas solamente los que aparecen encerrados obtienes el máximo común divisor.

El procedimiento que se utilizó para obtener el MCM y el MCD se llama factorización prima (o factoración prima) y es muy útil para una infinidad de procedimientos matemáticos más que veremos más adelante.

Una de sus aplicaciones se vio en el artículo

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/01/leccion-2-numeros-primos/ para obtener la raiz cuadrada.

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