QUE SON LOS NÚMEROS REALES

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Importancia de este tema:  Este es el primer capítulo de tu Curso Básico de Álgebra por Internet. Si tienes la firme intención de aprender y dominar el álgebra y avanzar sin tener dudas en el camino, es muy importante que leas este capítulo completo, también que veas cuidadosamente los vídeos incluidos y que realices los ejercicios del tema. Esta es la fórmula del éxito en álgebra: Leer + Ver Vídeos + Resolver Ejercicios, recuérdala siempre.

El álgebra funciona con números reales. Si comprendes bien estos números comprenderás bien el álgebra. ¿Crees que alguien pudiera estudiar literatura hispanoamericana sin conocer el idioma español? ¿Crees que alguien puede estudiar botánica sin conocer las plantas?

Los números reales forman un conjunto infinitamente grande.  En ese conjunto están incluidos otros conjuntos de números, abarcando prácticamente todos los números que conocemos, los números con los que trabajamos todos los días, los números de la vida cotidiana y también todos los números que nos enseñan en el colegio, todas las operaciones que aprendemos a resolver incluso hasta en la universidad. Poco o nada vemos acerca de otro tipo de números que no son reales (por ejemplo los números imaginarios, o los complejos solo se ven como un breve capítulo de matemáticas).

Los números reales incluyen los números enteros positivos como el 1, el 2, el 4, los enteros negativos como el -3, o -7 pero también las fracciones como 2/3 (dos tercios), los números decimales como 4.56 y algunos números especiales como el 0 (cero) o π (Pi ≈ 3.1416).

Este conjunto está integrado por todos los números que podemos representar sobre una recta numérica, por esta razón a la recta numérica también se le conoce como Recta Real o también  Recta de los Números Reales.

En el centro de la recta numérica está el cero, al que podemos considerar el número más importante de la recta. Los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos a su izquierda.

El cero es el único número neutro, lo que significa que no tiene signo positivo ni negativo y más adelante veremos que da lo mismo asignarle signo positivo o negativo en las operaciones donde participa.

A veces escucharás que se habla de los «números no negativos«, que no es otra cosa que el número cero junto con todos los positivos.  

Los números enteros (positivos y negativos) se encuentran colocados a una distancia definida uno en seguida de otro, a la distancia que separa un entero del que sigue se le llama Unidad. Así por ejemplo, el número tres  se encuentra «una unidad» hacia la derecha del número dos y el número -5 (cinco negativo) se encuentra «tres unidades» hacia la izquierda del número -2 (dos negativo).

Todos los enteros estarán separados una unidad de distancia entre sí. 

Tómate unos minutos y revisa el siguiente vídeo en el que te explicaré con más detalle lo que hemos visto, pero recuerda, después del video continua con la lectura y los ejercicios de esta lección.  

EL VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto es la distancia que hay desde un número real hasta el cero, expresada en unidades. Por ejemplo, si tomamos en cuenta al número cuatro negativo (-4), vemos que dista cuatro unidades del número cero. Entonces decimos que su valor absoluto es 4, es decir, que son cuatro unidades de distancia hasta el cero.

El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales de la siguiente forma:

Aquí dice: Valor absoluto de menos cuatro es igual a cuatro.

El valor absoluto del número cuatro positivo también es cuatro porque también está a cuatro unidades de distancia hasta el cero, así podemos concluir que los números +4 y -4 tienen el mismo valor absoluto (4) aunque tienen diferente signo. En ocasiones se denomina «valor relativo» al hecho de que tengan distinto signo.

Las fracciones decimales (3.7) y las fracciones comunes (2/3) o quebrados, también son números reales, aunque es más difícil localizarlas en la recta, están ubicadas en medio de los números enteros.  Por ejemplo, 3.7 está entre el entero 3 y el entero 4, mientras que 2/3 (que equivale a 0.66..) se encuentra entre el 0 y el 1. Nota:  Para convertir 2/3 a número decimal se divide el numerador 2 entre el denominador 3. 

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Para que sea mucho más sencillo comprender este tema, hemos creado otro vídeo que tienes que ver completo, luego de verlo, continúa la lectura y responde los ejercicios.

__ Vídeo #2 (Clasificación de los Números Reales y Cómo se Convierten Fracciones ♣)

Los números reales se pueden clasificar de acuerdo a su signo (negativos a la izquierda del cero, positivos a la derecha y el único número neutro, sin signo, que es el cero).

Sin embargo, una clasificación más eficaz de los números reales sería, basándonos en el concepto de «números racionales» y  «números irracionales».

Los números reales racionales son aquellos que se pueden expresar en forma de «fracción común«, o sea, de «quebrado», una representación numérica que tiene numerador arriba y denominador abajo, siendo tanto numerador como denominador números enteros. Ejemplos de fracciones comunes: 1/2  (un medio),  3/4 (tres cuartos).

Otros ejemplos de fracciones comunes:  

Ahora observa las siguientes fracciones algebraicas que NO son fracciones comunes (porque no se cumple que su numerador y denominador sean números enteros):

Parecen fracciones comunes ¿Verdad? Pero no lo son. Para que lo sean, tanto el número de arriba (numerador) como el de abajo (denominador) deben ser enteros. 

Nota: Si tienes dudas seguro no viste o no pusiste atención a los videos, donde se explican muchos detalles. De cualquier forma, estamos para servirte, puedes dejar tus dudas y comentarios en la sección de comentarios de abajo o en nuestra página de Facebook.

CONVERTIR FRACCIONES COMUNES A FRACCIONES DECIMALES

Tomando como ejemplo la fracción común 1/2  (un medio) podemos dividir el numerador 1 entre el denominador 2, obteniendo 0.5, que es otro tipo de número que se llama fracción decimal.

Eso quiere decir que 0.5 es equivalente a 1/2.

De igual forma, tomando la fracción común 3/4 y haciendo la división de numerador entre denominador obtenemos 0.75.  Esto quiere decir que 0.75 (fracción decimal) equivale a 3/4 (fracción común),

Entonces decíamos que los números reales racionales, son aquellos que se pueden representar como fracciones comunes, mientras que los irracionales no se pueden representar como fracciones comunes.

Los números que entran en la clasificación de números racionales son:

• Los Enteros como 4, -4,  1,  -5, 36
• Las Fracciones Decimales Finitas (que tienen fin, que sus cifras decimales son limitadas) como 0.75, 0.5
• Las Fracciones Decimales Infinitas Periódicas (sus cifras nunca terminan pero se repite una o varias cifras de manera infinita) como 1.3333333333…..   0.3333333333…..   2.34343434343434…….

Los números que entran en la clasificación de números irracionales son;

• Las Fracciones Decimales Infinitas No Periódicas (sus cifras nunca terminan, pero no se repite nada).  Los ejemplos más importantes dentro de este tipo de números son el famoso número Pi 3.1416 que en realidad es un redondeo del verdadero Pi que es 3.14159265….. cifras infinitas que no se repiten, el número «e» (también llamado número de Euler), el número Phi (Fi) también conocido como número de  la proporción divina, o las raices cuadradas que no son exactas, como la raiz cuadrada de dos, de tres o de cinco.

A continuación puedes ver una lámina didáctica de los números especiales «e» y «pi», tomada de nuestro sitio web http://ClasesDeMatematicas.org.  No te preocupes, si no entiendes la simbología o las operaciones, es solo para darnos una idea de dónde salen esos extraños números irracionales. 

A manera de resumen aquí tienes la: Clasificación de los números reales: es importante que veas el vídeo 2 para una explicación más detallada.

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Saludos!!  Elaboró: Profesor Raúl Vega Muñoz