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1.7 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

El más pequeño de los múltiplos comunes para dos o más números de referencia es el mínimo común múltiplo.  Vamos a poner un ejemplo: Supongamos que conocemos todos los múltiplos del número 27 y todos los múltiplos del número 45.  Desde luego esto solo es una suposición, porque los múltiplos para cada número de referencia son infinitos.  Aquí mostramos una parte de la enorme lista de múltiplos de estos números 27 y 45:

Puedes notar que hay múltiplos comunes, se llaman así porque aparecen tanto en la lista (tabla de multiplicar) del 27 como en la del 45. Esos números son: 135, 270, 405…  también el 540 (aunque no se ve del lado izquierdo) y en general todos los múltiplos de 135.  Precisamente ese pequeño número, el más pequeño de los múltiplos comunes es el mínimo común múltiplo.

Para obtener el mínimo común múltiplo se emplea un método clásico, que toma en cuenta los números primos de los que hemos hablado en artículos anteriores.  Aquí se muestra el procedimiento para obtener el mínimo común múltiplo de 27 y 45:

Se colocaron los números 27 y 45 encima de una línea recta horizontal (en color rojo), también se dibujó una línea recta vertical (también en rojo).  Se dividió el 27 entre 3 y también el 45 entre 3, por eso aparece un número 3 del lado derecho de la línea vertical.

Los números 9 y 15 de la nueva fila también se dividieron entre 3, obteniéndose 3 y 5, respectivamente en la tercera fila (renglón). Se intentó dividir  esta nueva fila entre 3, por eso aparece un 3 también al final de la tercera fila, pero solo se logró dividir al 3, el 5 no se logró dividir entre 3 por eso se bajó idéntico.

La nueva fila conformada por los números 1 y 5 ya no es posible dividirla entre 3, se optó por el 5, por eso aparece un 5 al final de la cuarta fila. Finalmente se tiene en la quinta fila solamente números uno. Aquí termina el proceso al que se le conoce como “factorización prima”.

Por último, el mínimo común múltiplo se obtuvo multiplicando todos los números que quedaron del lado derecho de la línea vertical, a esos números se les llama “factores primos”.

Hablaremos más de este procedimiento muy pronto. Si te ha gustado este artículo por favor deja tu comentario.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (MCD) de varios números de referencia, por ejemplo 10, 15 y 20, es aquel número pequeño en este caso el número 5 que puede dividir perfectamente a los números de referencia 10, 15 y 20.

Si dividimos 10 entre 5 obtenemos 2 (división exacta), si dividimos 15 entre 5 obtenemos 3 (también es división exacta), y si dividimos 20 entre 5 obtenemos 4 (otra división exacta).

El máximo común divisor aunque su nombre “máximo” nos hace pensar en un número grande, pero en realidad es todo lo contrario, siempre va  a ser un número pequeño, tan pequeño como el número de referencia menor o aun más pequeño, como en el ejemplo que acabamos de ver.

Veremos otro ejemplo: El máximo común divisor de 12, 24 y 36 es 12. Es del mismo tamaño que el más pequeño de los números de referencia. Al dividir 12 entre 12 obtenemos 1.  Al dividir 24 entre 12 obtenemos 2 y al dividir 36 entre 12 obtenemos 3. Todas divisiones exactas.

El procedimiento para obtener el máximo común divisor es exactamente idéntico al procedimiento que explicamos para obtener el mínimo común múltiplo (MCM), en artículos anteriores.

Para ver cuál es la pequeña diferencia entre un procedimiento y otro, hemos creado un video en el que te explicamos con todo detalle ambos procedimientos.  Cuando veas el video observa que la “columna de factores primos” del máximo común divisor, contiene algunos números encerrados y otros que no están encerrados. Si multiplicas todos los factores primos obtienes el mínimo común múltiplo, pero si multiplicas solamente los que aparecen encerrados obtienes el máximo común divisor.

El procedimiento que se utilizó para obtener el MCM y el MCD se llama factorización prima (o factoración prima) y es muy útil para una infinidad de procedimientos matemáticos más que veremos más adelante.

Una de sus aplicaciones se vio en el artículo

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/01/leccion-2-numeros-primos/ para obtener la raiz cuadrada.

Si te gustó este artículo y te sirvió, por favor déjame un comentario,  también si tienes alguna duda.

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1.6 NÚMEROS PRIMOS, FACTORES PRIMOS, FACTORIZACIÓN PRIMA

LOS NÚMEROS PRIMOS

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Los Números Primos son un conjunto infinito de números que tiene como característica principal que solamente tienen dos divisores enteros: el número uno y el mismo número de referencia.

Así por ejemplo, el número dos, solamente se puede dividir entre 1 y entre 2, entonces es un número primo. Otro número que tiene esa característica es el tres, ya que solo se puede dividir entre 1 y entre 3.

Aquí te presento una lista con los primeros diez números primos (apréndela de memoria, ya que la vas a utilizar frecuentemente en álgebra, para las operaciones con fracciones comunes, y también para simplificar las terribles ecuaciones que incluyen fracciones).

Es posible que te estés preguntando: ¿Son los números primos lo mismo que los números impares? La respuesta es no. Son diferentes cosas. Los números impares son simplemente los que no son números pares. Los números pares son los que terminan en 0 (cero), 2 (dos), 4 (cuatro), 6 (seis), 8 (ocho).   Así por ejemplo, 143  es un número impar, mientras que 286 es número par.  Aquí hay una lista de los primeros 20 números impares:

Es posible que también te preguntes si el uno es número primo, pero no lo es, porque deben tener dos divisores, el uno solo tiene un divisor (él mismo).

IMPORTANCIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

En álgebra se utilizan muy a menudo los números primos para obtener el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor (procesos de los que hablaremos muy pronto), de crucial importancia para realizar y simplificar operaciones con fracciones, además de utilizarlos en factorización (también llamada factoración), y en la simplificación de ecuaciones con fracciones, que son temas que se verán más adelante, cuando profundices en tus clases de álgebra.

Otra interesante aplicación es la obtención de la raíz cuadrada y de la raíz cúbica. En el siguiente vídeo puedes ver cómo se aplican los números primos en la obtención de una raíz cuadrada:

En el próximo artículo, te explicaré con detalle cómo obtener el mínimo común múltiplo aplicando los números primos. Si te gusta este artículo, no olvides dejar un comentario.