LA DIVISIÓN EXACTA

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Decimos que una división es exacta cuando al hacerla, obtenemos un resultado (llamado cociente) y además no queda residuo, o dicho de otra forma, el residuo es cero. Veamos un ejemplo de división exacta (35370 entre 45):

Ahora veremos un ejemplo de división que no es exacta (4567 entre 26):

Claro que en el caso de la segunda operación, si así lo hubiéramos querido podíamos proseguir con la división agregándo punto decimal, y tratando de seguir dividiendo hasta que ya no sea posible:

Pero en este artículo nos vamos a concentrar en las divisiones exactas, específicamente, nos interesa analizar cómo es posible saber si un número cualquiera se puede dividir entre 1, entre 2, entre 3, entre 4, entre 5, entre 6, entre 7, entre 8, entre 9, entre 10 y entre 11, con división exacta.

A eso se le llama criterios de divisibilidad y es un tema sumamente importante para comprender otros temas de álgebra de gran relevancia.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Criterio de divisibilidad entre 1:  Todos los números reales se pueden dividir entre 1. No hay mayor dificultad.

Criterio de divisibilidad entre 2:  Se pueden dividir entre 2 todos los números pares, es decir, todos aquellos cuya última cifra sea 2, 4, 6, 8, 0.  Por ejemplo el 340,  el 256 se pueden dividir entre 2.

Criterio de divisibilidad entre 3: Se deben sumar todas las cifras que componen un número entero, por ejemplo, si el número de referencia es 234567 se suman sus cifras: 27,  como todavía quedan dos cifras 2 y 7 se suman, lo que nos da 9.    El criterio dice «si la sumatoria de las cifras concluye en 3, 6, o 9, el número es divisible entre 3»

Criterio de divisibilidad entre 4:  Se toman las dos últimas cifras del número de referencia, y se dividen entre 4, si la división es exacta entonces todo el número es divisible entre 4.   Por ejemplo, si queremos averiguar si el número 147896 es divisible entre 4, basta con tomar sus dos últimas cifras 96 (como si fuera noventa y seis) y hacer la división entre 4, su resultado es 24, número entero, división exacta, entonces concluimos que el número completo 147896 es divisible entre 4.

Criterio de divisibilidad entre 5:  Si la última cifra es 5 o 0.  Por ejemplo, los números 124580 y 3245 son divisibles entre 5 porque terminan en 0 y en 5 respectivamente.

Criterio de divisibilidad entre 6.  Si cumple con los criterios de divisibilidad entre 2 y entre 3 entonces también es divisible entre 6, si no cumple alguno de ellos no será divisible. Por ejemplo, el número  141 es divisible entre 3 (revisa el criterio 3 para comprobarlo) pero no cumple el criterio 2, entonces no es divisible entre 6. En cambio, el número 360 cumple tanto el criterio 2 como el criterio 3. Entonces también es divisible entre 6. ¡Compruébalo!

Criterio de divisibilidad entre 8:  Si las tres últimas cifras forman un número que se puede dividir entre 8 entonces todo el número es divisible entre 8.   Por ejemplo, el número 63,032 para verificar si se puede dividir entre 8, tomamos las 3 últimas cifras 032, como 0 no cuenta, solo es 32, se hace la división entre 8 y es exacta, entonces concluimos que todo el número 63032 es divisible entre 8. ¡Compruébalo!  (Tienes razón, es muy parecido al del 4)

Criterio de divisibilidad entre 9. Se suman todas las cifras que componen el número, si el resultado final es 9 entonces es divisible entre 9.  (Efectivamente, tienes toda la razón del mundo, se parece mucho al criterio del 3, solamente que para el 3 sería si concluye la suma en 3, 6 o 9 mientras que para el 9 debe ser estrictamente en 9).

También tienes razón al haber notado que falta el criterio para el 7, para el 10 y para el 11.  Esto se revisará en el próximo artículo.

Ahora, porque no intentas decirme entre cuáles números del 1 al 9 es divisible el siguiente número: 5570. Escríbelo en los comentarios.

Criterio de divisibilidad entre 7:  Se separa la última cifra, se duplica y esto se resta del número que forman las otras cifras juntas, prosiguiendo con esta secuencia hasta quedad algún número que sea múltiplo de 7 o cero. Para que sea mas claro veremos varios ejemplos:

• Ejemplo A.  Verificar si el número 341523 es divisible entre 7.

1. Se separa la última cifra, con eso obtenemos 34152
2. La cifra que se separó (el 3) se duplica (lo que da 6)
3. Ese valor se resta de 34152 de esta forma:   34152 menos 6, lo que da 34146
4. Del número que quedó 34146 se separa la última cifra, y se repite todo el proceso de los tres pasos anteriores, aquí se muestran en resumen:  3414 menos 12 lo que da 3402,  se separa la última cifra 2 se duplica y se resta de 340, lo que da 340 menos 4, igual a 336, se separa el 6, se duplica, se resta 33 menos 12, lo que da 21.
5. Como el 21 que queda al final es múltiplo de 7 (está en la tabla del 7) se concluye que si es divisilble.

• EjemploB.  Verificar si el número 551544 es divisible entre 7. Ahora lo mostraremos en un esquema:

Como queda 28 al final, y es múltiplo de 7, concluimos que 551544 es divisible entre 7.

Ahora inténtalo tu, verifica si los siguientes números son divisibles entre 7 y escribe tus respuestas aquí abajo en los comentarios: 52206,  52207,   551523

Criterio de divisibilidad entre 10.  Es muy sencillo, tanto como el criterio de divisibilidad entre 5. Solo tienes que observar si la última cifra es 0.  Ejemplo de números divisibles entre 10 son:  3240, 12380, 1000

Criterio de divisibilidad entre 11.  Se marca una cifra si y una no, una si y una no (dicho de otra forma, se separan cifras de posiciones pares e impares) y se suman por separado. Luego se restan los resultados de las sumas.  Si la resta da como resultado cero o múltiplos de 11 como el 11, el 22, el 33, el 44, el 55, etc.  entonces sí es divisible entre 11.  Veamos como ejemplo el número 526856.

Recuerda que si el resultado de la última resta es cero o es múltiplo de 11 es divisible entre 11.

Ahora realiza los siguientes ejercicios y escribe tus resultados en los comentarios.

Revisar si los números 526437,  526438, 526411  son divisibles entre 11.

Si te gustó este artículo y también si tienes alguna duda por favor deja un comentario. Nos vemos en el próximo artículo de tu Curso Básico de Álgebra por Internet.