Archivo de la categoría: aritmética

1.9 FRACCIONES DECIMALES

LAS FRACCIONES DECIMALES

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Conocer las fracciones decimales (números con punto decimal) es vital para tu aprendizaje de álgebra, ya que no todos los resultados son números enteros. A veces, pasamos por la escuela creyendo que sabemos todo lo necesario acerca de los números con punto decimal, y al llegar a los temas avanzados de álgebra, geometría o cálculo ¡OMG! nos damos cuenta de que necesitamos repasar conceptos básicos con urgencia. No lo dejes al último. Debemos tomar en cuenta que estos conceptos los hemos aprendemos en el transcurso de la educación primaria, y no siempre ha sido la forma correcta.

Si lees esta lección con atención, si ves los vídeos que contiene y realizas los ejercicios te prometo que aprenderás cómo se convierten los diferentes tipos de fracciones, y esto te va a servir para saber realizar operaciones (lo veremos más adelante) de una manera mucho más sencilla. Te recomiendo leer este artículo más de una vez. No te quedes con dudas, nosotros responderemos tus preguntas, ya sea en la sección de comentarios, en nuestro Twitter o en nuestro Facebook.

QUÉ SON LAS FRACCIONES DECIMALES

Una fracción decimal está formada por una “parte entera” y una “parte decimal”. La parte entera está ubicada del lado izquierdo del punto decimal y se compone de “cifras enteras” mientras que la parte decimal está ubicada del lado derecho del punto decimal y contiene “cifras decimales”, veamos un ejemplo: la fracción decimal 786.3425 tiene la siguiente estructura:

Nota:  En varios países se utiliza la “coma decimal” en vez del “punto decimal” para separar la parte entera de la parte decimal. Si en tu país utilizan ese sistema, por favor interpreta el “punto decimal” como una “coma decimal”.

Cada cifra decimal y cada cifra entera recibe un nombre específico de acuerdo a su posición, o qué tan lejos está del punto o coma decimal. La primera cifra entera a la izquierda del punto se llama “unidades”, la segunda se llama “decenas”, la tercera se llama “centenas”… etc. En el ejemplo anterior, tendríamos 6 unidades, 8 decenas, 7 centenas. ¿Correcto?

La primera cifra decimal, a la derecha del punto o coma decimal, se llama “décimos”, en el ejemplo que vimos serían 3 décimos y también se puede escribir como 3/10 (tres décimos); la segunda cifra decimal se llama “centésimos”, en el ejemplo anterior tenemos 4 centésimos, que también se simbolizan como 4/100 (cuatro centésimos); la tercera cifra decimal (en este ejemplo la cifra 2) se llama “milésimos”, y se simboliza como  2/1000 (dos milésimos); la cuarta cifra decimal (en este ejemplo la cifra 5) se llama “diezmilésimos”, y se simboliza como 5/10000 (cinco diezmilésimos).

Esa forma de representar 3/10 tres décimos, se dice que es en forma de “fracción común”.

En la figura siguiente puedes ver en forma de resumen los nombres que recibe cada una de las cifras decimales y de las cifras enteras.

Ejercicio de Práctica 1.3 A:

Ahora intenta tu aplicar este conocimiento adquirido, escribe los nombres de cada una de las cifras de las siguientes fracciones decimales:

12.3456

234.56789

4283.12

Escribe tus resultados en la sección de comentarios de abajo o en la página de Facebook o Twitter, para que nuestro equipo de profesores los revise y califique. Por favor escribe como título “Ejercicio 1.3A”

CÓMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES EN FRACCIONES MIXTAS

Una fracción decimal se puede convertir en fracción común o en fracción mixta. Veamos unos ejemplos:

3.5 es una fracción decimal, pero se puede convertir a su forma de fracción común: 7/2, a pesar de que se ven muy diferentes, son números equivalentes, son exactamente el mismo número.

4.65 es una fracción decimal, pero se puede convertir a su forma de fracción mixta 4 65/100 (cuatro enteros, 65 centésimos) o su equivalente simplificada 4 13/20 (cuatro enteros, 13 veinteavos).

Toda fracción mixta se puede pasar finalmente a su forma de fracción común, así por ejemplo 4 13/20 al final quedaría como 93/20 (noventa y tres veinteavos).

A continuación veremos detalladamente cómo se hacen estos procedimientos, primero veremos cómo pasar de fracción decimal a fracción mixta (que es un paso intermedio antes de llegar a la fracción común).

Tomemos como ejemplo la fracción decimal 34.125. Sus cifras decimales son 1 décimo, dos centésimos y tres milésimos, respectivamente.

Que también se pueden representar como 34 enteros, 1/10,   2/100,   5/1000  así:

Ya que están presentes 3 cifras decimales, la cifra decimal dominante es la última, en este caso los “milésimos”, entonces decimos que son 34 enteros, 125 milésimos y se puede escribir como sigue:

La fracción que obtuvimos se denomina “Fracción Mixta” o “Fracción Compuesta” y como puedes observar, la parte entera continua siendo parte entera, mientras que la parte decimal se ha convertido en una fracción común.

Recuerda esto: El hecho de que escribamos 1000 como denominador es porque en la fracción decimal original 34.125 tenemos 3 cifras decimales, si solo fueran 2 cifras decimales hubiéramos escrito un 100 como denominador y si solo tuviera una cifra decimal hubiéramos colocado un 10 como denominador.

Para comprender mejor observa cómo se convierten las siguientes fracciones decimales a fracciones mixtas:

Aqui va el video explicativo (próximamente)

Ejercicio de Práctica 1.3B

Ahora hazlo tú para verificar que has comprendido bien este procedimiento, convierte las siguientes fracciones decimales a fracciones mixtas:  

a) 32.12

b) 125.528

c) 5.7826

d) 12.5  

Escribe tus respuestas en la sección de comentarios o en nuestro Facebook con el título Ejercicio 1.3B.

CÓMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES EN FRACCIONES COMUNES

Ahora que sabemos cómo convertir de fracción decimal a fracción mixta, nuestro objetivo es convertir la fracción mixta a fracción común.  Lo que hemos aprendido hasta ahora es un paso intermedio, es decir, siempre que debemos convertir una fracción decimal a fracción común, vamos primero a obtener la fracción mixta.

A continuación te voy a explicar el paso siguiente: cómo convertir de fracción mixta a fracción común, es decir, una fracción que sea equivalente pero que no contenga parte entera, solamente numerador y denominador.

El procedimiento es muy sencillo. Se multiplica el entero por el denominador de la fracción mixta por del denominador de la fracción, y luego al resultado que obtenemos se le suma el numerador de la fracción, ese número que obtenemos será el numerador de la nueva fracción. El denominador de la nueva fracción será el mismo denominador que tenía la fracción mixta.

En el ejemplo anterior sería de la siguiente forma:

Veamos otro ejemplo completo:

En ambos casos que hemos revisado, obtuvimos fracciones comunes a partir de fracciones decimales, sin embargo no las hemos simplificado, las fracciones comunes se pueden simplificar, por ejemplo, la fracción 1248/100 se puede simplificar si obtenemos la mitad del numerador y la mitad del denominador, hasta que ya no se pueda.

La fraccion -14/10 se puede simplificar de forma similar.

En las próximas lecciones y vídeos se explicará con mayor detalle cómo simplificar fracciones, ya que es un tema mucho más amplio que requiere la comprensión de otros conceptos (mínimo común múltiplo, máximo común divisor).

Espero sinceramente que esta explicación te sirva y te invito a convertir las siguientes fracciones decimales a fracciones comunes y simplificarlas hasta que ya no sea posible:

Ejercicio de Práctica 1.3C

a) -2.32

b) 4.56

c) 7.231

d) -3.47

e) -0.56

Resuelve esas fracciones y escribe tu resultado en la sección de comentarios, o en Facebook, también dime si tienes alguna duda, con gusto la responderé.

COMO CONVERTIR FRACCIONES DECIMALES INFINITAS PERIÓDICAS A FRACCIONES COMUNES

Cómo convertir fracciones decimales infinitas periódicas a fracciones comunes.  Este tema es mucho más avanzado que los temas que estamos revisando en esta lección, pero como de alguna manera está relacionado con lo que estamos viendo, por si te sirve puedes descargar el documento PDF a continuación.

Te repito, no es necesario que comprendas este último procedimiento, si lo ves muy complicado no te preocupes, posteriormente lo volveremos a revisar, porque requiere conocimientos que veremos adelante. Para descargarlo debes dar clic en el siguiente enlace.

Fracciones Infinitas Periodicas

Si te gustó esta lección por favor regálame un comentario y compártela con tus amigos, les estarás ayudando bastante porque este tema es de los más importantes y casi nunca se ve en clases un repaso como este, ellos te lo agradecerán.

1.8 FRACCIONES COMUNES

NÚMEROS RACIONALES:  FRACCIONES COMUNES O “QUEBRADOS”

En el capítulo sobre la clasificación de los números reales, explicamos que estos se subdividen en números irracionales y números racionales. Estos últimos, son los que tienen la facultad de poder expresarse como fracciones comunes o quebrados.

Una fracción común es aquella que tiene forma de división de dos pisos (por así decirlo) con un “numerador” en la parte de arriba y un “denominador” en la parte de abajo. Ejemplos de fracciones comunes son: 2/3,  3/4,  5/8,  etc.

De un a manera simple, verás en muchos libros que los números racionales incluyen tanto a los números enteros como las fracciones comunes. Esto es porque los enteros pueden expresarse fácilmente como fracciones comunes, tan solo con agregarles un denominador uno “1” debajo. Así, por ejemplo, el entero 4, se puede expresar como 4/1, el entero -3 se puede expresar como -3/1

Sin embargo, esa forma de definir a los números racionales es insuficiente, porque no explica algo más importante y más profundo. En realidad, los números racionales incluyen a tres tipos de números:

  • Enteros positivos, negativos y neutros (cero)
  • Fracciones decimales infinitas periódicas
  • Fracciones decimales finitas

Las fracciones decimales finitas son símplemente los números con punto decimal, donde sus cifras decimales son finitas, esto es, que llegan a un fin, por ejemplo: 3.4 que solo tiene la cifradecimal “4”, o por ejemplo 3.567 que solo tiene tres cifras decimales (5, 6, 7) o incluso esta: 4567.399340809656216745593 que aunque tiene muchas cifras decimales (21 en total) estas se terminan.

A diferencia de las anteriores, las fracciones decimales infinitas periódicas tienen cifras infinitas, pero se repita una o más cifras, ejemplos:

1.333333333333333333333333333333333333333333333333….

23.4545454545454545454545454545454545454545454545….

133.876587658765876587658765876587658765876587658….

Estas últimas, se pueden abreviar con un pequeño guion encima de las cifras que se repiten hasta el infinito.

————IMAGEN (EDITANDO)

La cualidad de estos tres tipos de números, los enteros que abreviaremos como (E) aunque oficialmente se usa la Z, pero queremos facilitar la comprensión, las fracciones decimales finitas (FDF) y las fracciones decimales infinitas periódicas (FDIP) es que se pueden todos expresar como fracciones comunes, es como si se disfrazaran, por así decirlo. Por ejemplo, la FDF 0.5 se puede “disfrazar” como 1/2, comprueba dividiendo el numerador 1 entre el denominador 2 y obtendrás 0.5, lo que demuestra que 1/2 es lo mismo que 0.5.  En el capítulo siguiente veremos los pasos para hacer la conversión.

Una FDIP como 1.333333333… también se puede “disfrazar” de fracción común, por ejemplo, esta equivale a 4/3, comprueba dividiendo 4 entre 3. También trataremos en el capítulo posterior los pasos para convertirla aunque esto por ahora no es necesario. Solo queremos exponer que son a grandes rasgos los números racionales.

Y en cuanto a los enteros, como ya lo habías expuesto previamente, es muy fácil expresarlos en forma de fracciones comunes, tan solo con ponerles un denominador 1.

FRACCIONES COMUNES EQUIVALENTES

Una fracción común cualquiera, como 3/4, tiene INFINITAS formas equivalentes, podemos comprobar mediante una calculadora, que 3/4 es equivalente a 6/8, ya que al dividir en ambos casos el numerador entre el denominador, obtenemos 0.75, lo que demuestra que son exactamente el mismo número pero “disfrazado” o dicho más apropiadamente “expresado” de distintas maneras.

Comprueba también que 3/4 tiene como equivalentes 9/12,  15/20, 18/24, etc.

Si eres observador(a) verás que lo único que hice fue multiplicar el numerador y también el denominador de la fracción original 3/4 por la misma cantidad, por ejemplo, al multiplicar 3 por 5 da 15, y 4 por 5 da 20, de ahí saqué 15/20.

¿Por cuánto hube de multiplicar el numerador 3 y el denominador 4 para obtener 18/24?  Por supuesto, por 6. Es importante aclarar que se debe multiplicar siempre por la misma cantidad al numerador y al denominador de una fracción para obtener fracciones comunes equivalentes.

Pero también se pueden obtener fracciones equivalentes dividiendo al numerador y obviamente también al denominador entre la misma cantidad.  Por ejemplo, si quiero obtener fracciones equivalentes de 25/15 puedo dividir tanto al numerador como al denominador entre 5 obteniendo así 5/3.

En breve vamos a agregas más ejemplos, ejercicios y videos en este capítulo, pero te recomiendo ver el siguiente ahora mismo.

1.7 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

El más pequeño de los múltiplos comunes para dos o más números de referencia es el mínimo común múltiplo.  Vamos a poner un ejemplo: Supongamos que conocemos todos los múltiplos del número 27 y todos los múltiplos del número 45.  Desde luego esto solo es una suposición, porque los múltiplos para cada número de referencia son infinitos.  Aquí mostramos una parte de la enorme lista de múltiplos de estos números 27 y 45:

Puedes notar que hay múltiplos comunes, se llaman así porque aparecen tanto en la lista (tabla de multiplicar) del 27 como en la del 45. Esos números son: 135, 270, 405…  también el 540 (aunque no se ve del lado izquierdo) y en general todos los múltiplos de 135.  Precisamente ese pequeño número, el más pequeño de los múltiplos comunes es el mínimo común múltiplo.

Para obtener el mínimo común múltiplo se emplea un método clásico, que toma en cuenta los números primos de los que hemos hablado en artículos anteriores.  Aquí se muestra el procedimiento para obtener el mínimo común múltiplo de 27 y 45:

Se colocaron los números 27 y 45 encima de una línea recta horizontal (en color rojo), también se dibujó una línea recta vertical (también en rojo).  Se dividió el 27 entre 3 y también el 45 entre 3, por eso aparece un número 3 del lado derecho de la línea vertical.

Los números 9 y 15 de la nueva fila también se dividieron entre 3, obteniéndose 3 y 5, respectivamente en la tercera fila (renglón). Se intentó dividir  esta nueva fila entre 3, por eso aparece un 3 también al final de la tercera fila, pero solo se logró dividir al 3, el 5 no se logró dividir entre 3 por eso se bajó idéntico.

La nueva fila conformada por los números 1 y 5 ya no es posible dividirla entre 3, se optó por el 5, por eso aparece un 5 al final de la cuarta fila. Finalmente se tiene en la quinta fila solamente números uno. Aquí termina el proceso al que se le conoce como “factorización prima”.

Por último, el mínimo común múltiplo se obtuvo multiplicando todos los números que quedaron del lado derecho de la línea vertical, a esos números se les llama “factores primos”.

Hablaremos más de este procedimiento muy pronto. Si te ha gustado este artículo por favor deja tu comentario.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (MCD) de varios números de referencia, por ejemplo 10, 15 y 20, es aquel número pequeño en este caso el número 5 que puede dividir perfectamente a los números de referencia 10, 15 y 20.

Si dividimos 10 entre 5 obtenemos 2 (división exacta), si dividimos 15 entre 5 obtenemos 3 (también es división exacta), y si dividimos 20 entre 5 obtenemos 4 (otra división exacta).

El máximo común divisor aunque su nombre “máximo” nos hace pensar en un número grande, pero en realidad es todo lo contrario, siempre va  a ser un número pequeño, tan pequeño como el número de referencia menor o aun más pequeño, como en el ejemplo que acabamos de ver.

Veremos otro ejemplo: El máximo común divisor de 12, 24 y 36 es 12. Es del mismo tamaño que el más pequeño de los números de referencia. Al dividir 12 entre 12 obtenemos 1.  Al dividir 24 entre 12 obtenemos 2 y al dividir 36 entre 12 obtenemos 3. Todas divisiones exactas.

El procedimiento para obtener el máximo común divisor es exactamente idéntico al procedimiento que explicamos para obtener el mínimo común múltiplo (MCM), en artículos anteriores.

Para ver cuál es la pequeña diferencia entre un procedimiento y otro, hemos creado un video en el que te explicamos con todo detalle ambos procedimientos.  Cuando veas el video observa que la “columna de factores primos” del máximo común divisor, contiene algunos números encerrados y otros que no están encerrados. Si multiplicas todos los factores primos obtienes el mínimo común múltiplo, pero si multiplicas solamente los que aparecen encerrados obtienes el máximo común divisor.

El procedimiento que se utilizó para obtener el MCM y el MCD se llama factorización prima (o factoración prima) y es muy útil para una infinidad de procedimientos matemáticos más que veremos más adelante.

Una de sus aplicaciones se vio en el artículo

https://cursosdealgebra.wordpress.com/2012/10/01/leccion-2-numeros-primos/ para obtener la raiz cuadrada.

Si te gustó este artículo y te sirvió, por favor déjame un comentario,  también si tienes alguna duda.

1.6 NÚMEROS PRIMOS, FACTORES PRIMOS, FACTORIZACIÓN PRIMA

LOS NÚMEROS PRIMOS

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Los Números Primos son un conjunto infinito de números que tiene como característica principal que solamente tienen dos divisores enteros: el número uno y el mismo número de referencia.

Así por ejemplo, el número dos, solamente se puede dividir entre 1 y entre 2, entonces es un número primo. Otro número que tiene esa característica es el tres, ya que solo se puede dividir entre 1 y entre 3.

Aquí te presento una lista con los primeros diez números primos (apréndela de memoria, ya que la vas a utilizar frecuentemente en álgebra, para las operaciones con fracciones comunes, y también para simplificar las terribles ecuaciones que incluyen fracciones).

Es posible que te estés preguntando: ¿Son los números primos lo mismo que los números impares? La respuesta es no. Son diferentes cosas. Los números impares son simplemente los que no son números pares. Los números pares son los que terminan en 0 (cero), 2 (dos), 4 (cuatro), 6 (seis), 8 (ocho).   Así por ejemplo, 143  es un número impar, mientras que 286 es número par.  Aquí hay una lista de los primeros 20 números impares:

Es posible que también te preguntes si el uno es número primo, pero no lo es, porque deben tener dos divisores, el uno solo tiene un divisor (él mismo).

IMPORTANCIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

En álgebra se utilizan muy a menudo los números primos para obtener el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor (procesos de los que hablaremos muy pronto), de crucial importancia para realizar y simplificar operaciones con fracciones, además de utilizarlos en factorización (también llamada factoración), y en la simplificación de ecuaciones con fracciones, que son temas que se verán más adelante, cuando profundices en tus clases de álgebra.

Otra interesante aplicación es la obtención de la raíz cuadrada y de la raíz cúbica. En el siguiente vídeo puedes ver cómo se aplican los números primos en la obtención de una raíz cuadrada:

En el próximo artículo, te explicaré con detalle cómo obtener el mínimo común múltiplo aplicando los números primos. Si te gusta este artículo, no olvides dejar un comentario.

1.5 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

LA DIVISIÓN EXACTA

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Decimos que una división es exacta cuando al hacerla, obtenemos un resultado (llamado cociente) y además no queda residuo, o dicho de otra forma, el residuo es cero. Veamos un ejemplo de división exacta (35370 entre 45):

Ahora veremos un ejemplo de división que no es exacta (4567 entre 26):

Claro que en el caso de la segunda operación, si así lo hubiéramos querido podíamos proseguir con la división agregándo punto decimal, y tratando de seguir dividiendo hasta que ya no sea posible:

Pero en este artículo nos vamos a concentrar en las divisiones exactas, específicamente, nos interesa analizar cómo es posible saber si un número cualquiera se puede dividir entre 1, entre 2, entre 3, entre 4, entre 5, entre 6, entre 7, entre 8, entre 9, entre 10 y entre 11, con división exacta.

A eso se le llama criterios de divisibilidad y es un tema sumamente importante para comprender otros temas de álgebra de gran relevancia.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Criterio de divisibilidad entre 1:  Todos los números reales se pueden dividir entre 1. No hay mayor dificultad.

Criterio de divisibilidad entre 2:  Se pueden dividir entre 2 todos los números pares, es decir, todos aquellos cuya última cifra sea 2, 4, 6, 8, 0.  Por ejemplo el 340,  el 256 se pueden dividir entre 2.

Criterio de divisibilidad entre 3: Se deben sumar todas las cifras que componen un número entero, por ejemplo, si el número de referencia es 234567 se suman sus cifras: 27,  como todavía quedan dos cifras 2 y 7 se suman, lo que nos da 9.    El criterio dice “si la sumatoria de las cifras concluye en 3, 6, o 9, el número es divisible entre 3”

Criterio de divisibilidad entre 4:  Se toman las dos últimas cifras del número de referencia, y se dividen entre 4, si la división es exacta entonces todo el número es divisible entre 4.   Por ejemplo, si queremos averiguar si el número 147896 es divisible entre 4, basta con tomar sus dos últimas cifras 96 (como si fuera noventa y seis) y hacer la división entre 4, su resultado es 24, número entero, división exacta, entonces concluimos que el número completo 147896 es divisible entre 4.

Criterio de divisibilidad entre 5:  Si la última cifra es 5 o 0.  Por ejemplo, los números 124580 y 3245 son divisibles entre 5 porque terminan en 0 y en 5 respectivamente.

Criterio de divisibilidad entre 6.  Si cumple con los criterios de divisibilidad entre 2 y entre 3 entonces también es divisible entre 6, si no cumple alguno de ellos no será divisible. Por ejemplo, el número  141 es divisible entre 3 (revisa el criterio 3 para comprobarlo) pero no cumple el criterio 2, entonces no es divisible entre 6. En cambio, el número 360 cumple tanto el criterio 2 como el criterio 3. Entonces también es divisible entre 6. ¡Compruébalo!

Criterio de divisibilidad entre 8:  Si las tres últimas cifras forman un número que se puede dividir entre 8 entonces todo el número es divisible entre 8.   Por ejemplo, el número 63,032 para verificar si se puede dividir entre 8, tomamos las 3 últimas cifras 032, como 0 no cuenta, solo es 32, se hace la división entre 8 y es exacta, entonces concluimos que todo el número 63032 es divisible entre 8. ¡Compruébalo!  (Tienes razón, es muy parecido al del 4)

Criterio de divisibilidad entre 9. Se suman todas las cifras que componen el número, si el resultado final es 9 entonces es divisible entre 9.  (Efectivamente, tienes toda la razón del mundo, se parece mucho al criterio del 3, solamente que para el 3 sería si concluye la suma en 3, 6 o 9 mientras que para el 9 debe ser estrictamente en 9).

También tienes razón al haber notado que falta el criterio para el 7, para el 10 y para el 11.  Esto se revisará en el próximo artículo.

Ahora, porque no intentas decirme entre cuáles números del 1 al 9 es divisible el siguiente número: 5570. Escríbelo en los comentarios.

Criterio de divisibilidad entre 7:  Se separa la última cifra, se duplica y esto se resta del número que forman las otras cifras juntas, prosiguiendo con esta secuencia hasta quedad algún número que sea múltiplo de 7 o cero. Para que sea mas claro veremos varios ejemplos:

  • Ejemplo A.  Verificar si el número 341523 es divisible entre 7.
  1. Se separa la última cifra, con eso obtenemos 34152
  2. La cifra que se separó (el 3) se duplica (lo que da 6)
  3. Ese valor se resta de 34152 de esta forma:   34152 menos 6, lo que da 34146
  4. Del número que quedó 34146 se separa la última cifra, y se repite todo el proceso de los tres pasos anteriores, aquí se muestran en resumen:  3414 menos 12 lo que da 3402,  se separa la última cifra 2 se duplica y se resta de 340, lo que da 340 menos 4, igual a 336, se separa el 6, se duplica, se resta 33 menos 12, lo que da 21.
  5. Como el 21 que queda al final es múltiplo de 7 (está en la tabla del 7) se concluye que si es divisilble.
  • EjemploB.  Verificar si el número 551544 es divisible entre 7. Ahora lo mostraremos en un esquema:

Como queda 28 al final, y es múltiplo de 7, concluimos que 551544 es divisible entre 7.

Ahora inténtalo tu, verifica si los siguientes números son divisibles entre 7 y escribe tus respuestas aquí abajo en los comentarios: 52206,  52207,   551523

Criterio de divisibilidad entre 10.  Es muy sencillo, tanto como el criterio de divisibilidad entre 5. Solo tienes que observar si la última cifra es 0.  Ejemplo de números divisibles entre 10 son:  3240, 12380, 1000

Criterio de divisibilidad entre 11.  Se marca una cifra si y una no, una si y una no (dicho de otra forma, se separan cifras de posiciones pares e impares) y se suman por separado. Luego se restan los resultados de las sumas.  Si la resta da como resultado cero o múltiplos de 11 como el 11, el 22, el 33, el 44, el 55, etc.  entonces sí es divisible entre 11.  Veamos como ejemplo el número 526856.

Recuerda que si el resultado de la última resta es cero o es múltiplo de 11 es divisible entre 11.

Ahora realiza los siguientes ejercicios y escribe tus resultados en los comentarios.

Revisar si los números 526437,  526438, 526411  son divisibles entre 11.

Si te gustó este artículo y también si tienes alguna duda por favor deja un comentario. Nos vemos en el próximo artículo de tu Curso Básico de Álgebra por Internet.

1.4 NÚMEROS NATURALES, MÚLTIPLOS, DIVISORES

NÚMEROS NATURALES

Por: Profesor Raúl Vega Muñoz

Los números naturales son los números enteros positivos: 1.  2.  3,  4 . . .  hasta el infinito.

Son los números con los que aprendimos a contar (entre los 5 y los 6 años de edad) y relacionamos con objetos que podemos ver y tocar, por ejemplo un lápiz, dos libros, tres perros…   a diferencia de otro tipo de números más abstractos y difíciles de relacionar en la naturaleza, como por ejemplo la fracción decimal 3.37 o  la fracción común 7/8.

Los números naturales son un subconjunto dentro del gran conjunto de los números reales, no incluyen al cero, solo los números enteros positivos. Los números naturales son muy importantes para entender los siguientes conceptos.

MÚLTIPLOS.

En la explicación que veremos a continuación, cuando mencionemos “el número de referencia” se trata del número del que estamos hablando en ese preciso momento, por ejemplo, si ahora estuviéramos hablando del 35, entonces cada vez que digamos “los números menores que el número de referencia” querrá decir “los números menores que 35”.

Vamos a considerar para la siguiente explicación al número 4 como nuestro “número de referencia”.

Se les llama múltiplos a “los resultados” de multiplicar al número de referencia, por cada uno de los Números Naturales comenzando con el uno y siguiendo así hasta el infinito.   Por ejemplo, si queremos enunciar los múltiplos de 4, habría que multiplicar:

Completa los valores faltantes.

Podríamos decir que los múltiplos de 4 son toda la “tabla de multiplicar del 4” …  hasta el infinito. Los múltiplos forman una “tabla infinita del 4”.

Si tuviéramos que responder: ¿El número 256 es múltiplo de 4? tendríamos que revisar la “tabla infinita de los múltiplos del 4” para verificar si en ella aparece el número 256.  Luego de un largo rato buscando, encontraríamos que 4 por 64 es igual a 256.

Pero esa exhaustiva actividad no es necesaria, bastaría con DIVIDIR 256 entre 4, y si el resultado es exacto, entonces sabremos que 256 es múltiplo de 4 sin tener que revisar la tabla infinita.  Al realizar la división obtenemos 64.

Entonces ya sabemos no solamente que 256 es múltiplo de 4 sino también que hay que multiplicar 4 por 64 para obtener 256.

Ahora, queremos saber si 450 es múltiplo de 25. ¿Que debemos hacer?  Exacto: debemos dividir 450 entre 25.

El resultado es 18. Significa que 450 es múltiplo de 25 y que hay que multiplicar 25 por 18 para obtener 450.

Ahora tú, por favor, dime si 736 es múltiplo de 8. También dime en este caso ¿Cuál sería el número de referencia? ¿Por cuánto hay que multiplicar 8 para obtener 736?

También intenta responder correctamente lo siguiente: si 3 por 14 es igual a 42 ¿Es el 42 múltiplo de 3? ¿Es el 42 múltiplo de 14?

Menciona 15 múltiplos del número 7.

DIVISORES

Entonces ahora, vamos a decir que 4 es divisor de 76, porque “puede dividir” al 76 con un resultado entero (19).

Para comprender mejor el concepto de divisor, vamos a considerar como número de referencia al número 12 (doce).

Queremos hacer una lista de TODOS LOS DIVISORES del número 12.

Una forma de obtenerlos es efectuar la división de 12 entre 1, 12 entre 2, 12 entre 3, 12 entre 4, 12 entre 5, 12 entre 6, 12 entre 7, 12 entre 8, 12 entre 9, 12 entre 10, 12 entre 11 y 12 entre 12.

Es decir, que hemos dividido el 12 entre TODOS y CADA UNO de los números naturales menores a 12 incluyendo el 1 y el mismo 12.

Aquí se presentan los resultados de las divisiones:

  • 12 entre 1 = 12  (exacta)
  • 12 entre 2 = 6  (exacta)
  • 12 entre 3 = 4  (exacta)
  • 12 entre 4 = 3  (exacta)
  • 12 entre 5 =      (no)
  • 12 entre 6 = 2  (exacta)
  • 12 entre 7 =      (no)
  • 12 entre 8 =      (no)
  • 12 entre 9 =      (no)
  • 12 entre 10 =      (no)
  • 12 entre 11 =      (no)
  • 12 entre 12 = 1  (exacta)

Comprueba estos resultados con una calculadora (o mejor aún, sin calculadora, por escrito).  Como podrás apreciar, algunas divisiones dieron como resultado cantidades decimales y otras dieron enteros, nos interesan únicamente las que fueron divisiones exactas, aquellas donde se obtuvieron resultados enteros.

Estas son las que nos interesan: 1, 2, 3, 4, 6 y 12

Con ello concluimos que TODOS los divisores del número 12 son:  1, 2, 3, 4, 6 y 12.

A continuación intenta obtener TODOS LOS DIVISORES de los siguientes números de referencia:

  • 18
  • 21
  • 24
  • 9
  • 5
  • 7
  • 20
  • 15
  • 30

Es muy importante que realices todas y cada una de las divisiones de cada número de referencia entre todos los números naturales menores que el número de referencia incluyéndolo, por ejemplo, para el 5, debes dividir entre 1, 2, 3, 4, 5 y seleccionar solamente las divisiones exactas.

Buena suerte, y por favor escribe aqui en los comentarios tus resultados. En el próximo artículo publicaré los resultados correctos.

1.3 TIPOS DE NÚMEROS Y PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS QUE EXISTEN

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

— Inconcluso, en proceso de edición  —-

Entendemos por números enteros a los números que no tienen punto decimal ni tienen forma de fracción (numerador/denominador). Los enteros pueden ser negativos (-4, -5, -7) o pueden ser positivos (+4, +5, +7)  o cero (neutro, sin signo). 

El conjunto de los números enteros se denomina Conjunto Z.

A veces, nos referimos a los números enteros negativos como Conjunto -Z (un subconjunto de los enteros)

LOS NÚMEROS NATURALES

Al conjunto de los enteros positivos {1, 2, 3, 4, 5, … } se le llama Conjunto N de los Números Naturales. No incluye al cero. Es infinito y es muy importante, pero es también un subconjunto de los números enteros.

… en proceso de edición…

1.2 LAS 7 OPERACIONES MATEMÁTICAS

LAS 7 OPERACIONES BÁSICAS DE LAS MATEMÁTICAS

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Si estás leyendo esto como parte de tu Curso de Álgebra, quiero felicitarte, estás haciendo muy bien las cosas. Al dedicarle tiempo a entender estos conceptos básicos, perfectamente, estás construyendo un poderoso set de conocimientos que te hará invencible en matemáticas. Cuando se te presenten los conceptos más avanzados los verás con mucha facilidad, ya lo verás.  Imagínate presentarte a una escuela para pilotear aviones si nunca has aprendido a conducir bicicletas o automóviles. 🙂 Solo no desistas, no te conformes con leer esta lección, continua después con la siguiente.

Las siete operaciones básicas que podemos efectuar con los números reales son las que te voy a mencionar a continuación:

( #1 ) Suma algebraica (adición)

( #2 ) Resta algebraica (diferencia, sustracción)

( #3 ) Multiplicación algebraica (es la más fácil, ya lo verás)

( #4 ) División algebraica (es difícil pero tendrás el dominio de está operación)

( #5 ) Potencia (aquí la verás fácil)

( #6 ) Radicación (también llamada raiz, aquí le perderás el miedo)

( #7 ) Logaritmo (¿Que con que se come? Aqui conocerás y dominarás el tema)

Sin entrar en detalles técnicos vamos a ver todas estas operaciones una por una, con cada una de estas operaciones vamos a trabajar con números enteros positivos (naturales), enteros negativos, el cero, con fracciones decimales y las fracciones comunes así como los números irracionales.

Para que este curso sea más sencillo de comprender, no pierdas de vista el CONTENIDO del CURSO (página de inicio). Ahí verás cómo están organizadas las lecciones iniciales.  

El equipo de profesores de CursosDeAlgebra.com estaremos atentos a tu avance y progreso y si vemos que dominas estos conceptos clave y necesitas ir a lecciones más avanzadas estaremos en contacto contigo para indicarte los pasos a seguir.  NO TE DETENGAS CONTINUA LA SIGUIENTE LECCIÓN ¡AHORA MISMO!

Animation1

1.1 LOS NÚMEROS REALES

QUE SON LOS NÚMEROS REALES

Por: Prof. Raúl Vega Muñoz

Importancia de este tema:  Este es el primer capítulo de tu Curso Básico de Álgebra por Internet. Si tienes la firme intención de aprender y dominar el álgebra y avanzar sin tener dudas en el camino, es muy importante que leas este capítulo completo, también que veas cuidadosamente los vídeos incluidos y que realices los ejercicios del tema. Esta es la fórmula del éxito en álgebra: Leer + Ver Vídeos + Resolver Ejercicios, recuérdala siempre.

El álgebra funciona con números reales. Si comprendes bien estos números comprenderás bien el álgebra. ¿Crees que alguien pudiera estudiar literatura hispanoamericana sin conocer el idioma español? ¿Crees que alguien puede estudiar botánica sin conocer las plantas?

Los números reales forman un conjunto infinitamente grande.  En ese conjunto están incluidos otros conjuntos de números, abarcando prácticamente todos los números que conocemos, los números con los que trabajamos todos los días, los números de la vida cotidiana y también todos los números que nos enseñan en el colegio, todas las operaciones que aprendemos a resolver incluso hasta en la universidad. Poco o nada vemos acerca de otro tipo de números que no son reales (por ejemplo los números imaginarios, o los complejos solo se ven como un breve capítulo de matemáticas).

Los números reales incluyen los números enteros positivos como el 1, el 2, el 4, los enteros negativos como el -3, o -7 pero también las fracciones como 2/3 (dos tercios), los números decimales como 4.56 y algunos números especiales como el 0 (cero) o π (Pi ≈ 3.1416).

Este conjunto está integrado por todos los números que podemos representar sobre una recta numérica, por esta razón a la recta numérica también se le conoce como Recta Real o también  Recta de los Números Reales.

En el centro de la recta numérica está el cero, al que podemos considerar el número más importante de la recta. Los números positivos están a la derecha del cero y los números negativos a su izquierda.

Recta numérica

El cero es el único número neutro, lo que significa que no tiene signo positivo ni negativo y más adelante veremos que da lo mismo asignarle signo positivo o negativo en las operaciones donde participa.

A veces escucharás que se habla de los “números no negativos“, que no es otra cosa que el número cero junto con todos los positivos.  

Los números enteros (positivos y negativos) se encuentran colocados a una distancia definida uno en seguida de otro, a la distancia que separa un entero del que sigue se le llama Unidad. Así por ejemplo, el número tres  se encuentra “una unidad” hacia la derecha del número dos y el número -5 (cinco negativo) se encuentra “tres unidades” hacia la izquierda del número -2 (dos negativo).

La unidad

Todos los enteros estarán separados una unidad de distancia entre sí. 

Tómate unos minutos y revisa el siguiente vídeo en el que te explicaré con más detalle lo que hemos visto, pero recuerda, después del video continua con la lectura y los ejercicios de esta lección.  

EL VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto es la distancia que hay desde un número real hasta el cero, expresada en unidades. Por ejemplo, si tomamos en cuenta al número cuatro negativo (-4), vemos que dista cuatro unidades del número cero. Entonces decimos que su valor absoluto es 4, es decir, que son cuatro unidades de distancia hasta el cero.

El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales de la siguiente forma:

Valor absoluto de menos cuatro es igual a cuatro

Aquí dice: Valor absoluto de menos cuatro es igual a cuatro.

El valor absoluto del número cuatro positivo también es cuatro porque también está a cuatro unidades de distancia hasta el cero, así podemos concluir que los números +4 y -4 tienen el mismo valor absoluto (4) aunque tienen diferente signo. En ocasiones se denomina “valor relativo” al hecho de que tengan distinto signo.

Las fracciones decimales (3.7) y las fracciones comunes (2/3) o quebrados, también son números reales, aunque es más difícil localizarlas en la recta, están ubicadas en medio de los números enteros.  Por ejemplo, 3.7 está entre el entero 3 y el entero 4, mientras que 2/3 (que equivale a 0.66..) se encuentra entre el 0 y el 1. Nota:  Para convertir 2/3 a número decimal se divide el numerador 2 entre el denominador 3. 

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Para que sea mucho más sencillo comprender este tema, hemos creado otro vídeo que tienes que ver completo, luego de verlo, continúa la lectura y responde los ejercicios.

__ Vídeo #2 (Clasificación de los Números Reales y Cómo se Convierten Fracciones ♣)

Los números reales se pueden clasificar de acuerdo a su signo (negativos a la izquierda del cero, positivos a la derecha y el único número neutro, sin signo, que es el cero).

"números reales"

Sin embargo, una clasificación más eficaz de los números reales sería, basándonos en el concepto de “números racionales” y  “números irracionales”.

Los números reales racionales son aquellos que se pueden expresar en forma de “fracción común“, o sea, de “quebrado”, una representación numérica que tiene numerador arriba y denominador abajo, siendo tanto numerador como denominador números enteros. Ejemplos de fracciones comunes: 1/2  (un medio),  3/4 (tres cuartos).

Otros ejemplos de fracciones comunes:  

Ejemplos de fracciones comunes

Ahora observa las siguientes fracciones algebraicas que NO son fracciones comunes (porque no se cumple que su numerador y denominador sean números enteros):

Parecen fracciones comunes ¿Verdad? Pero no lo son. Para que lo sean, tanto el número de arriba (numerador) como el de abajo (denominador) deben ser enteros. 

Nota: Si tienes dudas seguro no viste o no pusiste atención a los videos, donde se explican muchos detalles. De cualquier forma, estamos para servirte, puedes dejar tus dudas y comentarios en la sección de comentarios de abajo o en nuestra página de Facebook.

CONVERTIR FRACCIONES COMUNES A FRACCIONES DECIMALES

Tomando como ejemplo la fracción común 1/2  (un medio) podemos dividir el numerador 1 entre el denominador 2, obteniendo 0.5, que es otro tipo de número que se llama fracción decimal.

Eso quiere decir que 0.5 es equivalente a 1/2.

De igual forma, tomando la fracción común 3/4 y haciendo la división de numerador entre denominador obtenemos 0.75.  Esto quiere decir que 0.75 (fracción decimal) equivale a 3/4 (fracción común),

Entonces decíamos que los números reales racionales, son aquellos que se pueden representar como fracciones comunes, mientras que los irracionales no se pueden representar como fracciones comunes.

Los números que entran en la clasificación de números racionales son:

  • Los Enteros como 4, -4,  1,  -5, 36
  • Las Fracciones Decimales Finitas (que tienen fin, que sus cifras decimales son limitadas) como 0.75, 0.5
  • Las Fracciones Decimales Infinitas Periódicas (sus cifras nunca terminan pero se repite una o varias cifras de manera infinita) como 1.3333333333…..   0.3333333333…..   2.34343434343434…….

Los números que entran en la clasificación de números irracionales son;

  • Las Fracciones Decimales Infinitas No Periódicas (sus cifras nunca terminan, pero no se repite nada).  Los ejemplos más importantes dentro de este tipo de números son el famoso número Pi 3.1416 que en realidad es un redondeo del verdadero Pi que es 3.14159265….. cifras infinitas que no se repiten, el número “e” (también llamado número de Euler), el número Phi (Fi) también conocido como número de  la proporción divina, o las raices cuadradas que no son exactas, como la raiz cuadrada de dos, de tres o de cinco.

A continuación puedes ver una lámina didáctica de los números especiales “e” y “pi”, tomada de nuestro sitio web http://ClasesDeMatematicas.org.  No te preocupes, si no entiendes la simbología o las operaciones, es solo para darnos una idea de dónde salen esos extraños números irracionales. 

CDM Numeros Especiales

A manera de resumen aquí tienes la: Clasificación de los números reales: es importante que veas el vídeo 2 para una explicación más detallada.

Clasificación de los números reales
Clasificación de los números reales

Hemos llegado al final de esta lección. Si te gusta, y te sirve, compártela con tus amigos en los botones de compartir en redes sociales aquí abajo.  Si así lo deseas regálame un like (me gusta) en los íconos de Facebook, Twitter y Google+.

Si tienes alguna duda y quieres aprender más déjame un comentario, lo responderé y trataré de aclarar cualquier duda que tengas.

Si ya estás inscrito(a) en el curso felicidades, sigue adelante sin detenerte, vas a aprender mucho. Si no lo has hecho te invito a suscribirte directamente en la página titulada ¿No entiendes álgebra?

Saludos!!  Elaboró: Profesor Raúl Vega Muñoz